Фильтр Саллена — Ки

Фильтр Са́ллена — Ки — один из типов активных электронных фильтров 2-го порядка.

Реализуется в виде электронной схемы с двумя резисторами, двумя конденсаторами и активным элементом (например, с операционным усилителем), в совокупности образующих фильтр с передаточной функцией второго порядка. Фильтры более высокого порядка могут быть реализованы включением нескольких фильтров последовательно, причём для реализации фильтра с нечётным порядком в цепочку фильтров включают по крайней мере один фильтр 1-го порядка.

Описываемая схема также известна как VCVS-фильтр (англ. voltage-controlled voltage source) источник напряжения, управляемый напряжением — ИНУН. Иногда её называют «фильтром с многопетлевой обратной связью».

Назван в честь исследователей из Массачусетского технологического института Роя Саллена (англ. Roy Pines Sallen) и Эдвина Ки (англ. Edwin L. Key), предложивших структуру такого фильтра в 1955 году.

Для упрощения формул фильтры, описанные в этой статье, кроме полосового фильтра, имеют коэффициент усиления в полосе пропускания равный единице (0 дБ). Реальные фильтры Саллена — Ки могут иметь произвольный коэффициент усиления, задаваемый резистивным делителем напряжения в отрицательной обратной связи усилительного компонента, например, операционного усилителя (ОУ), как показано в схеме полосового фильтра.

Фильтр нижних частотПравить

 

Вариант фильтра нижних частот с единичным усилением в полосе пропускания.

Операционный усилитель в данной схеме включён по схеме повторителя напряжения.

В общем случае частота среза $F_c$$F_{c}$  и добротность фильтра $Q$$Q$  задаются следующими выражениями:

$F_c=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}$$F_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$ 

$Q=\frac{\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}{C_2(R_1+R_2)}$$Q={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}(R_{1}+R_{2})}}$ 

К примеру, представленная на рисунке схема с указанными номиналами компонентов имеет частоту среза 15,9 кГц и добротность 0,5.

Передаточная функция фильтра:

$H(s)=\frac{1}{1+C_2(R_1+R_2)s+C_1{C}_2{R}_1{R}_2{s}^2},$$H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}},$ 

где $s$$s$  — оператор Лапласа.

При формальной замене $s=j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$s=j\omega$  получаем комплексную передаточную характеристику в виде:

$H(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{1}{1+j{C}_2(R_1+R_2)\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->C_1{C}_2{R}_1{R}_2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}.$$H(\omega )={\frac {1}{1+jC_{2}(R_{1}+R_{2})\omega -C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}\omega ^{2}}}.$ 

Фильтр верхних частотПравить

 

Вариант фильтра верхних частот с частотой среза в 72 Гц и добротностью 0,5.

Соответствующие выражение для частоты среза:

$F_c=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}$$F_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$ 

и добротности:

$Q=\frac{R_2{C}_x}{\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}$$Q={\frac {R_{2}C_{x}}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}$ ,

где

$C_x=C_1\Vert <!--\; \Vert \; -->C_2=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$$C_{x}=C_{1}\|C_{2}={\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$ .

Полосовой фильтрПравить

 

Вариант полосового фильтра.

Резонансная частота:

$F_c=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\sqrt{\frac{R_f+R_1}{C_1{C}_2{R}_1{R}_2{R}_f}}$$F_{c}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{f}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{f}}}}$ 

Делитель напряжений в обратной связи задаёт коэффициент передачи фильтра на резонансной частоте. ОУ включён по схеме неинвертирующего усилителя и его собственный коэффициент усиления $G$$G$  выражается:

$G=1+\frac{R_b}{R_a}$$G=1+{\frac {R_{b}}{R_{a}}}$ ,

и усиление этого полосового фильтра на резонансной частоте:

$A=\frac{G}{3-<!--\; -\; -->G}$$A={\frac {G}{3-G}}$ .

Важно заметить, что коэффициент $G$$G$  не должен превышать 3, в противном случае фильтр потеряет устойчивость и будет генерировать колебания.

ОграниченияПравить

Фильтры со структурой Саллена — Ки порядка более двух неприменимы из-за потери устойчивости. Обойти данное ограничение позволяет последовательное соединение нескольких активных фильтров второго порядка.

СсылкиПравить

• Analog Devices Мастер расчёта активных фильтров (рус.)
• Фильтруй сигнал!