Фактор Дебая — Валлера

Фактор Дебая — Валлера (или Дебая — Уоллера) — безразмерная величина, характеризующая влияние тепловых колебаний кристаллической решётки на процессы упругого рассеяния или испускания (без отдачи) излучения в кристалле. Величина была введена голландским физиком Петером Дебаем в 1913 году применительно к задаче о дифракции рентгеновских лучей в кристалле, десять лет спустя она была уточнена шведским физиком Иваром Валлером^[en]. Фактор Дебая — Валлера используется для описания температурной зависимости вероятности ряда процессов: упругого когерентного рассеяния рентгеновских лучей, гамма-квантов и нейтронов, а также резонансного поглощения и испускания гамма-квантов в кристаллах (эффект Мёссбауэра). В некогерентном случае аналогичная величина называется фактором Лэмба — Мёссбауэра^[en].

Наличие колебаний решётки приводит к уменьшению интенсивности рассеяния, которое описывается следующим образом:

$I=I_0\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->W)$$I=I_{0}\exp(-W)$,

где $I_0$$I_0$ — интенсивность рассеяния в случае жёсткой решётки. Экспоненциальный множитель называется фактором Дебая — Валлера и в общем случае определяется усреднённым по всем колебательным (фононным) состояниям матричным элементом величины $\exp <!--\; \; -->(iP{u}_n/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->})$$\exp(iPu_{n}/\hbar )$, где $P$$P$ — импульс, передаваемый кристаллу (разность между начальным и конечным импульсами рассеиваемой частицы), $u_n$$u_{n}$ — смещение соответствующего атома из положения равновесия, $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$ — постоянная Планка.

В классическом случае рассеяния рентгеновских лучей показатель экспоненты можно вычислить как $W=⟨<!--\; ⟨\; -->(\mathbf{q}{\mathbf{u}}_n{)}^2⟩<!--\; ⟩\; -->$$W=\langle (\mathbf {q} \mathbf {u} _{n})^{2}\rangle$, где $\mathbf{q}$$\mathbf {q}$ — вектор рассеяния (разность волновых векторов начального и рассеянного излучения), угловые скобки означают усреднение. Для одноатомного кубического кристалла (изотропная среда) $W\approx <!--\; \approx \; -->q^2⟨<!--\; ⟨\; -->u_n^2⟩<!--\; ⟩\; -->/3$$W\approx q^{2}\langle u_{n}^{2}\rangle /3$. Используя далее модель Дебая твёрдого тела, можно получить приближённые выражения для фактора как функции температуры:

$W=\frac{3{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{q}^{2}T}{m{k}_B{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_D^2}$$W={\frac {3\hbar ^{2}q^{2}T}{mk_{B}\theta _{D}^{2}}}$ при $T>>{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_D$$T>>\theta _{D}$

и

$W=\frac{3{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{q}^2}{4m{k}_B{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_D}\left[1+\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{3}{\left(\frac{T}{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_D}\right)}^2\right]$$W={\frac {3\hbar ^{2}q^{2}}{4mk_{B}\theta _{D}}}\left[1+{\frac {2\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {T}{\theta _{D}}}\right)^{2}\right]$ при $T<<\theta _{D}$.

Здесь ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_D$$\theta _{D}$ — температура Дебая, $m$$m$ — масса атомов, составляющих кристалл, $k_B$$k_B$ — постоянная Больцмана.

ЛитератураПравить

• Debye P. Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung // Annalen der Physik. — 1913. — Bd. 348 (43). — S. 49—92. — doi:10.1002/andp.19133480105. Русский перевод: Дебай П. Интерференция рентгеновских лучей и тепловое движение // Дебай П. Избранные труды. Статьи 1909—1965. — Л.: Наука, 1987. — С. 7-46.
• Waller I. Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen // Zeitschrift für Physik. — 1923. — Bd. 17. — S. 398—408. — doi:10.1007/BF01328696.
• Мейерович А. Э. Дебая — Уоллера фактор // Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 574.
• Займан Дж. Принципы теории твёрдого тела. — М.: Мир, 1966.
• Вонсовский С. В., Кацнельсон М. И. Квантовая физика твёрдого тела. — М.: Наука, 1983.
• Киттель Ч. Квантовая теория твёрдых тел. — М.: Наука, 1967.