Условное распределение

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

ОпределенияПравить

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ .

Дискретные случайные величиныПравить

Пусть $X:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m$$X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$  и $Y:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$  — случайные величины, такие, что случайный вектор $(X,Y{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{m+n}$$(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$  имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности $p_{X,Y}(x,y),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^m,y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ . Пусть $y_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$  такой, что $\mathbb{P}(Y=y_0)>0$$\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$ . Тогда функция

$p_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)=\mathbb{P}(X=x\mid <!--\; \mid \; -->Y=y_0)=\frac{p_{X,Y}(x,y_0)}{p_Y(y_0)},x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^m$$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0}) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}$ ,

где $p_Y$$p_{Y}$  — функция вероятности случайной величины $Y$$Y$ , называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины $X$$X$  при условии, что $Y=y_0$$Y=y_{0}$ . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Пусть $X:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m$$X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$  и $Y:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$  — случайные величины, такие что случайный вектор $(X,Y{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{m+n}$$(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$  имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности $f_{X,Y}(x,y),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^m,y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ . Пусть $y_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$  таково, что $f_Y(y_0)>0$$f_{Y}(y_{0})>0$ , где $f_Y$$f_{Y}$  — плотность случайной величины $Y$$Y$ . Тогда функция

$f_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)=\frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}$ 

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины $X$$X$  при условии, что $Y=y_0$$Y=y_{0}$ . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределенийПравить

• Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,

• $p_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)\ge <!--\; \ge \; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^m,y_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,
• $\underset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)=1,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{y}_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

и

• $f_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)\ge <!--\; \ge \; -->0$$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0$  почти всюду на ${\mathbb{R}}^{m+n}$$\mathbb {R} ^{m+n}$ ,
• $\underset{{\mathbb{R}}^m}{\int <!--\; \int \; -->}{f}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)dx=1,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{y}_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

• Справедливы формулы полной вероятности:

• $p_X(x)=\underset{y}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y)p_Y(y)$$p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)$ ,
• $f_X(x)=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}{f}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y)f_Y(y)dy$$f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$ .

• Если случайные величины $X$$X$  и $Y$$Y$  независимы, то условное распределение равно безусловному:

$p_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)=p_X(x),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^m$$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}$ 

или

$f_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)=f_X(x)$$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{X}(x)$  почти всюду на ${\mathbb{R}}^m$$\mathbb {R} ^{m}$ .

Условные вероятностиПравить

Дискретные случайные величиныПравить

Если $A$$A$  — счётное подмножество ${\mathbb{R}}^m$$\mathbb {R} ^{m}$ , то

$\mathbb{P}(X\in <!--\; \in \; -->A\mid <!--\; \mid \; -->Y=y_0)=\underset{x\in <!--\; \in \; -->A}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)$$\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})$ .

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Если $A\in <!--\; \in \; -->\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m)$$A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$  — борелевское подмножество ${\mathbb{R}}^m$$\mathbb {R} ^{m}$ , то полагаем по определению

$\mathbb{P}(X\in <!--\; \in \; -->A\mid <!--\; \mid \; -->Y=y_0)=\underset{A}{\int <!--\; \int \; -->}{f}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)dx$$\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx$ .

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как $\mathbb{P}(Y=y_0)=0$$\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$ .

Условные математические ожиданияПравить

Дискретные случайные величиныПравить

• Условное математическое ожидание случайной величины $X$$X$  при условии $Y=y_0$$Y=y_{0}$  получается суммированием относительно условного распределения:

$\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y=y_0]=\underset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}x{p}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)$$\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})$ .

• Условное математическое ожидание $X$$X$  при условии случайной величины $Y$$Y$  — это третья случайная величина $\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y]$$\mathbb {E} [X\mid Y]$ , задаваемая равенством

$\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y](\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y=Y(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})],\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega$ .

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

• Условное математическое ожидание случайной величины $X$$X$  при условии $Y=y_0$$Y=y_{0}$  получается интегрированием относительно условного распределения:

$\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y=y_0]=\underset{{\mathbb{R}}^m}{\int <!--\; \int \; -->}x{f}_{X\mid <!--\; \mid \; -->Y}(x\mid <!--\; \mid \; -->y_0)dx$$\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx$ .

• Условное математическое ожидание $X$$X$  при условии случайной величины $Y$$Y$  — это третья случайная величина $\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y]$$\mathbb {E} [X\mid Y]$ , задаваемая равенством

$\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y](\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\mathbb{E}[X\mid <!--\; \mid \; -->Y=Y(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})],\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega$ .

См. такжеПравить

• Условное матожидание