Условия излучения Зоммерфельда

Уравнение Гельмгольца:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U+k^{2}U=f$$\Delta U+k^{2}U=f$

- имеет не единственное решение в классе (обобщённых) функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Чтобы выделить класс единственности решения (из соображений удобства выбрать конкретное решение) в неограниченных областях, необходимо потребовать дополнительных ограничений решения на бесконечности. Этими ограничениями и явились условия излучения Зоммерфельда:

$u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}|x|}-<!--\; -\; -->iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),|x|\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\left(1\right)$$u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}-iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left(1\right)$

или

$u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}|x|}+iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),|x|\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1}\right)$$u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}+iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left({\overline {1}}\right)$.

Условия излучения $\left(1\right)$$\left(1\right)$ отвечают уходящим на бесконечность волнам, а условия $\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1}\right)$$\left({\overline {1}}\right)$ волнам приходящим из бесконечности. Для гармонических функций $\left(k=0\right)$$\left(k=0\right)$ условия излучения вытекают из единственного требования: $u\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=0$$u\left(\infty \right)=0$. Также можно показать, что при $k>0$$k>0$ всякое решение однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее второму из условий $\left(1\right)$$\left(1\right)$ или $\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1}\right)$$\left({\overline {1}}\right)$, удовлетворяет и первому условию: $u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right)$$u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right)$

ЛитератураПравить

• A. Sommerfeld. Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1912. — Vol. 21. — P. 309—353.
• S. H. Schot. Eighty years of Sommerfeld's radiation condition // Historia Mathematica. — 1992. — Vol. 19. — P. 385—401.
• С. В. Молодцов. Условия излучения Зоммерфельда // Физическая энциклопедия