Уравнения Ефименко

Уравне́ния Ефиме́нко описывают поведение электрического и магнитного поля в терминах запаздывающих источников. Объединённые с уравнением непрерывности, уравнения Ефименко эквивалентны уравнениям Максвелла электромагнетизма. Названы в честь Олега Ефименко.

ОбъяснениеПравить

Электрическое поле $\mathbf{E}$$\mathbf {E}$  и магнитное поле $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$  задаются в терминах плотности заряда $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  и плотности тока $\mathbf{J}$${\mathbf {J}}$  как

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}\int <!--\; \int \; -->\left(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)\frac{\mathbf{R}}{R^3}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\frac{\mathbf{R}}{R^{2}c}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\frac{1}{R{c}^2}\right){\mathrm{d}}^3<!--\; \; -->{\mathbf{r}}^{\prime },$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\left(\rho (\mathbf {r'} ,t_{r}){\frac {\mathbf {R} }{R^{3}}}+{\frac {\partial \rho (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}{\frac {\mathbf {R} }{R^{2}c}}-{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}{\frac {1}{R\,c^{2}}}\right)\operatorname {d} ^{3}\mathbf {r'} },$ 

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\int <!--\; \int \; -->\left(\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathbf{R}}{R^3}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathbf{R}}{R^{2}c}\right){\mathrm{d}}^3<!--\; \; -->{\mathbf{r}}^{\prime },$$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left(\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})\times {\frac {\mathbf {R} }{R^{3}}}+{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\times {\frac {\mathbf {R} }{R^{2}c}}\right)\operatorname {d} ^{3}\mathbf {r'} },$ 

где $\mathbf{R}=\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }$$\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r'}$ , и $t_r=t-<!--\; -\; -->\frac{R}{c}$$t_{r}=t-{\frac {R}{c}}$  (запаздывающее время), ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0$$\epsilon_0$  — электрическая постоянная, ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0$$\mu _{0}$  — магнитная постоянная.