Уравнение состояния Пенга — Робинсона

Уравнение состояния Пенга — Робинсона — модификация уравнения Ван-дер-Ваальса, связывающая основные термодинамические параметры реального газа за счёт введения дополнительного объёмозависимого кубического трёхчлена, учитывающего межмолекулярные взаимодействия в реальном газе. Эта модификация уравнения применяется преимущественно для описания поведения углеводородов нормального строения и смесей.

ОписаниеПравить

Уравнение имеет следующий вид:

$p=\frac{R\cdot <!--\; \cdot \; -->T}{V_m-<!--\; -\; -->b}-<!--\; -\; -->\frac{a(T)}{V_m^2+2\cdot <!--\; \cdot \; -->b\cdot <!--\; \cdot \; -->V_m-<!--\; -\; -->b^2}.$$p={\frac {R\cdot T}{V_{m}-b}}-{\frac {a(T)}{V_{m}^{2}+2\cdot b\cdot V_{m}-b^{2}}}.$ 

При использовании уравнения для определения параметров в критической точке, принимаем следующие значения коэффициентов:

$a(T_c)=\mathrm{0,457}235\frac{R^2\cdot <!--\; \cdot \; -->T_c^2}{P_c},$$a(T_{c})=0{,}457235\,{\frac {R^{2}\cdot T_{c}^{2}}{P_{c}}},$ 

$b(T_c)=\mathrm{0,077}796\frac{R\cdot <!--\; \cdot \; -->T_c}{P_c}.$$b(T_{c})=0{,}077796\,{\frac {R\cdot T_{c}}{P_{c}}}.$ 

При температурах отличных от критической принимается:

$a(T)=a(T_c)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(T_r\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}),$$a(T)=a(T_{c})\cdot \alpha (T_{r}\,\omega ),$ 

$b(T)=b(T_c),$$b(T)=b(T_{c}),$ 

где

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\left(1+\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(1-<!--\; -\; -->T_r^{0,5}\right)\right)}^2,$$\alpha =\left(1+\kappa \cdot \left(1-T_{r}^{\,0{,}5}\right)\right)^{2},$ 

$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=\mathrm{0,374}64+\mathrm{1,542}26\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{0,269}92\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2,$$\kappa =0{,}37464+1{,}54226\cdot \omega -0{,}26992\cdot \omega ^{2},$ 

$T_r=\frac{T}{T_c}.$$T_{r}={\frac {T}{T_{c}}}.$ 

Уравнение может быть представлено в виде полинома:

$Z^3-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->B)\cdot <!--\; \cdot \; -->Z^2+(A-<!--\; -\; -->2B-<!--\; -\; -->3B^2)\cdot <!--\; \cdot \; -->Z-<!--\; -\; -->(AB-<!--\; -\; -->B^2-<!--\; -\; -->B^3)=0,$$Z^{3}-(1-B)\cdot Z^{2}+(A-2B-3B^{2})\cdot Z-(AB-B^{2}-B^{3})=0,$ 

где

$A=\frac{a(T)\cdot <!--\; \cdot \; -->P}{R^2\cdot <!--\; \cdot \; -->T^2},$$A={\frac {a(T)\cdot P}{R^{2}\cdot T^{2}}},$ 

$B=\frac{b(T)\cdot <!--\; \cdot \; -->P}{R\cdot <!--\; \cdot \; -->T},$$B={\frac {b(T)\cdot P}{R\cdot T}},$ 

$Z=\frac{P\cdot <!--\; \cdot \; -->V_m}{R\cdot <!--\; \cdot \; -->T}$$Z={\frac {P\cdot V_{m}}{R\cdot T}}$  — коэффициент сжимаемости газа.

Используемые обозначения: $P$$P$  — давление газа, $R$$R$  — универсальная газовая постоянная, $V_m$$V_{m}$  — молярный объем, $T_c$$T_{c}$  — критическая температура газа, $P_c$$P_c$  — критическое давление газа, $T$$T$  — температура газа, $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — ацентрический фактор.

Достоинством уравнения является то, что свойства чистого газа описываются этим уравнением с помощью только трёх индивидуальных свойств: температуры и давления критической точки газа, а также ацентрического фактора Питцера. Эти параметры определены для широкого круга веществ.

При расчёте смесей смесь рассматривается как некоторый гипотетический газ, параметры критической точки которого являются известной функцией концентраций исходных компонентов и термодинамических параметров их критических точек.

Уравнение было предложено Робинсоном (Robinson) и его аспирантом Пенгом (Peng) в 1976 году в Альбертском университете для того, чтобы удовлетворить следующие потребности:

1. Параметры должны быть выражены через критические свойства и ацентрический фактор.
2. Модель должна обеспечить достаточную точность вблизи критической точки, в частности, для расчетов коэффициента сжимаемости и плотности жидкости.
3. Правила смешивания не должны использовать более одного двоичного параметра взаимодействия, которые должны быть независимы от давления, температуры и состава.
4. Уравнение должно быть применимо к расчетам всех свойств природного газа при его переработке.