Уравнение Тьюкольского

Уравнение Тьюкольского — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее возмущение метрики Керра. Опубликовано Тьюкольским^[en] в 1972.

В координатах Бойера — Линдквиста^[en] (Boyer — Lindquist) и $G=c=1$$G=c=1$ уравнение имеет следующий вид:

$\left[\frac{(r^2+a^2{)}^2}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}-<!--\; -\; -->a^{2}si{n}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right]\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}+\frac{4Mar}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}+\left[\frac{a^2}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{si{n}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right]\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{-<!--\; -\; -->s}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{s+1}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)-<!--\; -\; -->\frac{1}{sin\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\left(sin\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)$$\left[{\frac {(r^{2}+a^{2})^{2}}{\Delta }}-a^{2}sin^{2}\theta \right]{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+{\frac {4Mar}{\Delta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t\partial \varphi }}+\left[{\frac {a^{2}}{\Delta }}-{\frac {1}{sin^{2}\theta }}\right]{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}-\Delta ^{-s}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\Delta ^{s+1}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(sin\theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)$$-<!--\; -\; -->2s\left[\frac{a(r-<!--\; -\; -->M)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}+\frac{icos\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{si{n}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right]\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}-<!--\; -\; -->2s\left[\frac{M(r^2-<!--\; -\; -->a^2)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}-<!--\; -\; -->r-<!--\; -\; -->iacos\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right]\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+(s^2+co{t}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->s)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sum <!--\; \sum \; -->T$$-2s\left[{\frac {a(r-M)}{\Delta }}+{\frac {icos\theta }{sin^{2}\theta }}\right]{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}-2s\left[{\frac {M(r^{2}-a^{2})}{\Delta }}-r-iacos\theta \right]{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+(s^{2}+cot^{2}\theta -s)\psi =4\pi \sum T$

где:

$\sum <!--\; \sum \; -->=r^2+a^{2}co{s}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\sum =r^{2}+a^{2}cos^{2}\theta$

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=r^2-<!--\; -\; -->2Mr+a^2$$\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}$

$M$$M$ — масса чёрной дыры, $aM$$aM$ — её угловой момент, $s$$s$ — спиновый вес.