Уравнение Саха

Ионизационное уравнение Са́ха или просто уравнение Саха, известное также как уравнение Саха — Ленгмюра, было выведено Эггертом в 1919 году для недр звёзд, а в 1920 году применено индийским астрофизиком Мегнадом Саха для фотосферы. Оно позволило объяснить спектральную последовательность звёзд (за что и было названо в честь Саха). Независимо Ирвингом Ленгмюром оно было получено в 1923 году. Важнейшее применение это уравнение получило в теории звёздных атмосфер и разработке спектральной классификации звёзд. В этом уравнении объединены идеи квантовой и статистической механики.

При повышении температуры газа кинетическая энергия составляющих его атомов становится столь высокой, что при столкновении друг с другом атомы начинают терять электроны, то есть начинается процесс ионизации. Такое состояние вещества в физике называется плазмой. Если газ полностью ионизован, то говорят о полностью ионизованной плазме, если же одни атомы ионизованы, а другие остались нейтральными, то говорят о частично ионизованной плазме. Уравнение Саха описывает степень ионизации такой плазмы как функции температуры, давления и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха применимо для равновесной плазмы.

Условия применимостиПравить

Уравнение Саха выполняется, если ионизация и рекомбинация проходят по одному и тому же пути, плазма рассматривается как идеальный газ (при не слишком низких и не слишком высоких плотностях), кулоновская энергия мала по сравнению с тепловой.

ОпределениеПравить

Для газа, состоящего из атомов одного сорта уравнение Саха можно записать в виде:

$\frac{n_{i+1}{n}_e}{n_i}=\frac{2}{{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^3}\frac{u_{i+1}}{u_i}\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->\frac{({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i+1}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i)}{k_{B}T}\right],$${\frac {n_{{i+1}}n_{e}}{n_{i}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {u_{{i+1}}}{u_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{{i+1}}-\varepsilon _{i})}{k_{B}T}}\right],$ 

где

• $n_i$$n_{i}$  — концентрация атомов в $i$$i$ -й степени ионизации; $i$$i$  — число недостающих электронов.
• $n_e$$n_{e}$  — концентрация электронов
• ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i$$\varepsilon_i$  — энергия, необходимая для удаления $i$$i$  электронов из нейтрального атома, то есть для создания атома $i$$i$ -й степени ионизации.
• $u_i=\underset{n}{\overset{z}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{g}_n(i)e^{-<!--\; -\; -->\frac{E_n}{k_{B}T}}$$u_{i}=\sum _{n}^{z}g_{n}(i)e^{-{\frac {E_{n}}{k_{B}T}}}$  — статистическая сумма:
  • $g_n(i)$$g_{n}(i)$  — статистический вес уровня $n$$n$  $i$$i$ -кратного иона.
  • $T$$T$  — температура газа
  • $k_B$$k_B$  — постоянная Больцмана
• $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{h^2}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{m}_e{k}_{B}T}}$$\Lambda \ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\sqrt {{\frac {h^{2}}{2\pi m_{e}k_{B}T}}}}$  — длина волны де Бройля (eng)
  • $m_e$$m_e$  — масса электрона
  • $h$$h$  — постоянная Планка

В случае, когда существуют только однократно ионизованные атомы уравнение упрощается: $n_1=n_e$$n_{1}=n_{e}$ , тогда полную плотность $n$$n$  можно ввести как $n=n_0+n_1$$n=n_{0}+n_{1}$ . Уравнение Саха можно представить в виде:

$\frac{n_e^2}{n-<!--\; -\; -->n_e}=\frac{2}{{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^3}\frac{g_1}{g_0}\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{k_{B}T}\right]$${\frac {n_{e}^{2}}{n-n_{e}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}\right]$ ,

где $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  — энергия ионизации.

В астрофизике используется следующая форма для уравнения Саха:

$\frac{n^{+}}{n}{P}_e=\frac{2u_1}{u_0}\frac{{\left(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{m}_e\right)}^{3/2}}{h^3}{\left(k_{B}T\right)}^{5/2}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{k_{B}T}},$${\frac {n^{+}}{n}}P_{e}={\frac {2u_{1}}{u_{0}}}{\frac {\left(2\pi m_{e}\right)^{{3/2}}}{h^{3}}}\left(k_{B}T\right)^{{5/2}}e^{{-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}}},$ 

где $P_e$$P_{e}$  — давление электронов.

СсылкиПравить

• A detailed derivation from University of Utah Physics Department (англ.)
• Lecture notes from University of Maryland Department of Astronomy (англ.)
• Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135—153 (англ.)
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148—160 (англ.)
• Д.А. Франк-Каменецкий. Лекции по физике плазмы. — Атомиздат, 1968. — 285 с.