Уравнение Ричардса

Уравнение Ричардса, описывающее влагоперенос в зоне аэрации (в ненасыщенной зоне), было сформулировано Лоренцо А. Ричардсом в 1931 году. Оно представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, основная трудность решения которого заключается в отсутствии точных аналитических решений.

Закон Дарси разработан для описания потока влаги в водонасыщенной пористой среде, адаптируя его, Ричардс использовал предложение Букингема  (англ.) (рус. (1907) и вывел общее дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает ненасыщенный влагоперенос в зоне аэрации. Наиболее известной формой записи является:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\left[K(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+1\right)\right]$$\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z} \left[ K(\theta) \left (\frac{\partial \psi}{\partial z} + 1 \right) \right]\$

где

$K$$K$ — коэффициент фильтрации в ненасыщенной зоне,

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ — высота всасывающего давления,

$z$$z$ — высота над плоскостью сравнения,

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ — объемная влажность, и

$t$$t$ — время.

Уравнение Ричардса аналогично уравнению влагопереноса в насыщенной зоне, переход от одного к другому обусловлен представлением напора в виде h = ψ + z, и заменой насыщенного потока ненасыщенным. Использование формы записи приведенной выше обусловлено удобством описания граничных условий (часто описываемых в терминах напора, например для использования атмосферного условия ψ = 0).

Вывод уравненияПравить

В этом разделе будет показан вывод уравнения Ричардса для вертикального влагопереноса в очень упрощенном виде. Закон сохранения массы гласит, что величина изменения водонасыщения в закрытом объеме равна величине изменения суммы всех (отрицательных и положительных) потоков влаги в данном объеме. Опишем это математическим языком:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}_{i,\text{in}}-<!--\; -\; -->\underset{j=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}_{j,\text{out}}\right)$$\frac{\partial \theta}{\partial t}= \vec{\nabla} \cdot \left(\sum_{i=1}^n{\vec{q}_{i,\,\text{in}}} - \sum_{j=1}^m{\vec{q}_{j,\,\text{out}}} \right)$ 

Введем одномерную форму записи для направления $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{k}$$\hat{k}$ :

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}q$$\frac{\partial \theta}{\partial t}= -\frac{\partial}{\partial z} q$ 

Горизонтальный поток описан эмпирическим Законом Дарси:

$q=-<!--\; -\; -->K\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}$$q= - K \frac{\partial h}{\partial z}$ 

Подставив q в уравнение выше, получим:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\left[K\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right]$$\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z} \left[ K \frac{\partial h}{\partial z}\right]$ 

И используем выражение для напора h = ψ + z:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\left[K\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right)\right]=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\left[K\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+1\right)\right]$$\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z} \left[ K \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} + \frac{\partial z}{\partial z} \right ) \right] = \frac{\partial}{\partial z} \left[ K \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} + 1 \right ) \right]$ 

Таким образом, получено уравнение Ричардса .

ФормулировкаПравить

Уравнение Ричардса используется во многих статьях, посвященных вопросам экологии, потому что оно описывает поток на границе подземных и поверхностных вод (атмосферных осадков, водоемов, рек и т. д.), что является чрезвычайно важным при моделировании миграции различных компонентов. Его так же рассматривают и в чисто математических журналах, потому что его решение не тривиально. Обычно, оно выражается в трех разных формах. Смешанная форма (mixed form), рассмотренная выше, включает в себя описание в терминах и напора и влажности. А также две другие формы записи, в терминах напора (head-based) и водонасыщения (saturation-based).

Запись в терминах напораПравить

$C(h)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->K(h)\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}h$$C(h)\frac{\partial h}{\partial t}= \nabla \cdot K(h) \nabla h$ 

Где C(h) [1/L], [1/м] — это функция водонасыщения от напора:

$C(h)\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}$$C(h) \equiv \frac{\partial \theta }{\partial h}$ 

Эта функция носит название общей гидрофизической характеристики (ОГХ) и может быть определена для различных типов почв на основе метода подбора кривых (метод подбора экспериментального уравнения по кривой) и лабораторных экспериментов, определяющих величину инфильтрации через почвенную (грунтовую) колонку. Одной из наиболее признанных является экспериментальная зависимость, предложенная Ван Генухтеном (van Genuchten) в 1980 году.

Запись в терминах водонасыщенияПравить

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->D(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\frac{\partial \theta }{\partial t}= \nabla \cdot D(\theta) \nabla \theta$ 

Где D(θ) [L²/T] — коэффициент влагопереноса:

$D(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{K(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}{C(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}\equiv <!--\; \equiv \; -->K(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}h}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$D(\theta) \equiv \frac{ K(\theta) }{C(\theta)} \equiv K(\theta)\frac{\partial h}{ \partial \theta}$ 

Ограничения применимостиПравить

Численное решение уравнения влагопереноса Ричардса критиковалось за большие вычислительные затраты и непредсказуемость, обусловленную тем, что нет гарантии, что вычислительный комплекс (solver) найдет решение (сойдется) для конкретных почвенных характеристик. Также отмечалось, что в данном методе преувеличена  роль капиллярных сил и в некоторой степени его критиковали за излишнюю простоту. При моделировании одномерного влагопереноса метод требует разбивки высокой дискретности для области граничащей с поверхностью (величина дискретизации должна быть не более одного сантиметра).  При трехмерном моделировании численное решение уравнения Ричардса определяется соотношением сторон, где отношение горизонтального и вертикального размеров ячейки модели в расчетной области должно быть не больше 7.

См. такжеПравить

• Гидрогеология
• Основная гидрофизическая характеристика
• Finite water-content vadose zone flow method