Уравнение Рариты — Швингера

Уравнение Рариты — Швингера — дифференциальное уравнение, описывающее частицы со спином 3/2. Оно было получено Раритой и Швингером в 1941 году.

Уравнение имеет вид:

$\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^5{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}+mc{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$\hbar \epsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }+mc\psi ^{\mu }=0$

либо, в натуральных единицах:

${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^5{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}+m{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$\epsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }+m\psi ^{\mu }=0$

где:

• ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$$\epsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}$ — символ Леви-Чивиты,
• $m$$m$ — масса частицы,
• ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\gamma _{\nu }$ — матрицы Дирака.

Уравнение Рариты—Швингера может быть получено из уравнения Эйлера — Лагранжа с плотностью лагранжиана:

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^5{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}-<!--\; -\; -->m{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{{\mu \nu \rho \sigma }}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }-m{\bar {\psi }}_{\mu }\psi ^{\mu }$

Также уравнение Рариты-Швингера можно вывести из теоретико-групповых соображений, как уравнение, инвариантное относительно преобразований Пуанкаре и описывающее волновую функцию элементарной частицы с массой $m$$m$ нечётным спином, большим $1$$1$, положительной энергией, фиксированной P-чётностью.