Уравнение Рамануджана — Нагеля

Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:

\text{[math]}

2^{n}-7=x^{2},

2^{n}-7=x^{2},

Для него требуется найти натуральные решения неизвестных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ $x$ .

Это пример экспоненциального диофантова уравнения. Уравнение названо в честь индийского математика Сринивасы Рамануджана и норвежского математика Трюгве Нагеля^[en].

ИсторияПравить

Данное уравнение возникает при решении следующей задачи^[1]: найти все числа Мерсенна $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $($ то есть числа вида $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{b}-1)$ , которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {y(y+1)}{2}}$ ). Несложные преобразования приводят к следующему результату:

\text{[math]}

{\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b}-1)=4y(y+1)\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}\end{aligned}}

Выполнив замену $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=b+3;\ x=2y+1,$ получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.

Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу^[2], что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений:

n	3	4	5	7	15	(последовательность A060728 в OEIS)
x	1	3	5	11	181	(последовательность A038198 в OEIS)

По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик Вильгельм Юнгрен^[en]^[3]. В 1948 году другой норвежский математик, Трюгве Нагель^[en], опубликовал доказательство^[4]^[5].

Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля^[1]:

\text{[math]}

{\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}

Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 (последовательность A076046 в OEIS).

Вариации и обобщенияПравить

Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:

\text{[math]}

x^{2}+D=AB^{n},

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D, A, B$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x, n$ . Зигель доказал:

количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечно^[6];
при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A=1,B=2$ уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D=7$ ;
существует бесконечно много значений $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D,$ для которых существуют два решения^[7], например, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D=2^{m}-1$ .

Пример: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D=119,A=15,B=2.$ Уравнение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x^{2}+119=15\cdot 2^{n},$ имеет шесть решений:

n	3	4	5	6	8	15
x	1	11	19	129	61	701

Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля:

\text{[math]}

x^{2}+D=Ay^{n}

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D, A$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x, y, n .$ Уравнение названо в честь французского математика Виктора-Амеде Лебега^[en], который в 1850 году исследовал уравнение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x^{2}+1=y^{n}$ и доказал, что оно имеет только тривиальные решения^[8]:

\text{[math]}

0^{2}+1=y^{0};\quad 0^{2}+1=1^{n};\quad x^{2}+1=(x^{2}+1)^{1}

Из результатов Шори и Тейдемана^[9] следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечно^[10]. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа^[11] с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A=1$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $1\leqslant D\leqslant 100$ . В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:

\text{[math]}

y^{n}-7=x^{2}\,

имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.

См. такжеПравить

Гипотеза Пиллаи: уравнение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Ax^{n}-By^{m}=C$ всегда имеет только конечное число решений.

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — С. 203—205. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
↑ S. Ramanujan (1913). “Question 464”. J. Indian Math. Soc. 5: 130.
↑ Ljunggren W. Oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. — 1943. — Vol. 25. — P. 29.
↑ Nagell T. Løsning till oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. — 1948. — Vol. 30. — P. 62—64.
↑ Skolem, T.; Chowla, S.; and Lewis, D. J. The Diophantine Equation $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n+2}-7=x^{2}$ and Related Problems. Proc. Amer. Math. Soc. 10, 663—669, 1959.
↑ Saradha, Srinivasan, 2008, с. 207.
↑ Saradha, Srinivasan, 2008, с. 208.
↑ Lebesgue, Victor-Amédée (1850). “Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m = y² + 1”. Nouv. Ann. Math. Sér. 1. 9: 178—181. Архивировано из оригинала 2020-12-04. Дата обращения 2021-02-18. Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)
↑ Shorey T. N., Tijdeman R. Exponential Diophantine equations. — Cambridge University Press, 1986. — Vol. 87. — P. 137—138. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 0-521-26826-5. — Zbl 0606.10011.
↑ Saradha, Srinivasan, 2008, с. 211.
↑ Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). “Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue–Nagell equation”. Compos. Math. 142: 31—62. arXiv:math/0405220. DOI:10.1112/S0010437X05001739.

ЛитератураПравить

Nagell T. The Diophantine equation x² + 7 = 2ⁿ // Ark. Mat.. — 1961. — Т. 30. — P. 185—187. — Bibcode: 1961ArM.....4..185N. — doi:10.1007/BF02592006.
Saradha N., Srinivasan A. Generalized Lebesgue–Ramanujan–Nagell equations // Diophantine Equations. — Narosa, 2008. — P. 207—223. — ISBN 978-81-7319-898-4.

СсылкиПравить

Values of X corresponding to N in the Ramanujan–Nagell Equation (англ.). Wolfram MathWorld. Дата обращения: 8 мая 2012.

[DD203-1] ¹ ² Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — С. 203—205. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

[2] S. Ramanujan (1913). “Question 464”. J. Indian Math. Soc. 5: 130.

[3] Ljunggren W. Oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. — 1943. — Vol. 25. — P. 29.

[4] Nagell T. Løsning till oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. — 1948. — Vol. 30. — P. 62—64.

[5] Skolem, T.; Chowla, S.; and Lewis, D. J. The Diophantine Equation $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n+2}-7=x^{2}$ and Related Problems. Proc. Amer. Math. Soc. 10, 663—669, 1959.

[_cd94210d1e755e44-6] Saradha, Srinivasan, 2008, с. 207.

[_cd94210d1e755e4b-7] Saradha, Srinivasan, 2008, с. 208.

[8] Lebesgue, Victor-Amédée (1850). “Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m = y² + 1”. Nouv. Ann. Math. Sér. 1. 9: 178—181. Архивировано из оригинала 2020-12-04. Дата обращения 2021-02-18. Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)

[9] Shorey T. N., Tijdeman R. Exponential Diophantine equations. — Cambridge University Press, 1986. — Vol. 87. — P. 137—138. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 0-521-26826-5. — Zbl 0606.10011.

[_cd94200d1e755cf1-10] Saradha, Srinivasan, 2008, с. 211.

[11] Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). “Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue–Nagell equation”. Compos. Math. 142: 31—62. arXiv:math/0405220. DOI:10.1112/S0010437X05001739.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]