Представление Лакса

Представление Лакса — используемое в теории интегрируемых систем представление уравнений системы в виде уравнения Лакса для пары зависящих от времени операторов, называемой парой Лакса. Преимущество такого представления в том, что если удалось записать уравнения в таком виде, то автоматически получается набор первых интегралов движения.

Пара Лакса — пара операторов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L(t),P(t)$ $L(t),P(t)$ , зависящих от времени, действующих на заданном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса:

\text{[math]}

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

.

В таком случае величины $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\operatorname {tr} L^{k}$ $\operatorname {tr} L^{k}$ являются (возможно не все независимыми) первыми интегралами движения.

Представление изначально предложено Питером Лаксом в контексте теории солитонов. Например, уравнение Кортевега — де Фриза:

\text{[math]}

u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}

u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}

может быть представлено посредством пары:

\text{[math]}

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}\end{aligned}}

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}\end{aligned}}

.

Множество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\operatorname {tr} L^{k}$ $\operatorname {tr} L^{k}$ даёт при этом счётный набор сохраняющихся величин.

Многие другие системы также могут быть записаны в виде представления Лакса, например уравнение синус-Гордона, цепочка Тоды, волчок Ковалевской, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и так далее.

ЛитератураПравить

P. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1968. — Т. 21, вып. 5. — С. 467–490. — doi:10.1002/cpa.3160210503.
P. Lax, R. S. Phillips. Scattering Theory for Automorphic Functions // Bull. Am. Math. Soc.. — 1980. — Т. 2, вып. 2.