Осциллятор Ван дер Поля

Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием, подчиняющийся уравнению

Фазовый портрет осциллятора. Виден предельный цикл.

Изменение формы предельного цикла при изменении $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(1-<!--\; -\; -->x^2)\frac{dx}{dt}+x=0$${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0$, где

$x$$x$ — координата точки, зависящая от времени $t$$t$;

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ — коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.

ИсторияПравить

Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем, во время его работы в компании Philips. Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными, известные как «предельные циклы» В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили, что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса.

Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии. Так, например, в биологии создана модель Фитц Хью-Нагумо Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов.

Двумерный случайПравить

С помощью теоремы Льенара можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что $y=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3}-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\frac{dx}{dt}$$y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}$ . Отсюда можно вывести уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случая:

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\\{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\right.$ .

Можно также совершить другую замену $y=\frac{dx}{dt}$$y={\frac {dx}{dt}}$  и получить

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})y-x\end{aligned}}\right.$ .

Осциллятор со свободными колебаниямиПравить

 

Релаксационные колебания осциллятора. $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=5$$\mu =5$ .

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0$$\mu =0$  и при $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>0$$\mu >0$ . Очевидно, что третьего режима — $\mu <0$  — не существует, так как затухание в системе не может быть отрицательным.

1) Когда $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0$$\mu =0$ , то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=0$${d^{2}x \over dt^{2}}+x=0$ .

Это уравнение гармонического осциллятора.

2) При $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>0$$\mu >0$  система имеет некие предельные циклы. Чем дальше $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  от нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические.

Вынужденные колебанияПравить

 

Хаотичное поведение осциллятора при воздействии внешней гармонической вынуждающей силы. $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=8,53;A=1,2;\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2,10$$\mu =8,53;A=1,2;\omega =2,10$ 

Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(1-<!--\; -\; -->x^2)\frac{dx}{dt}+x=A\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)$ , где

$A$$A$  — амплитуда внешнего гармонического сигнала,

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — его угловая частота.

 

Принципиальная схема на триоде.

См. такжеПравить

• Осциллятор Дуффинга;
• Цепь Чуа;
• Теория хаоса.

СсылкиПравить

• Примеры фазовых портретов осциллятора.