Фазовое пространство

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, каждая точка которого соответствует одному и только одному состоянию из множества всех возможных состояний системы. Точка пространства, соответствующая состоянию системы, называется «изображающей» или «представляющей» для него. Таким образом, изменению состояний системы, — то есть её динамике — можно сопоставить движение изображающей точки; траекторию этой точки называют фазовой траекторией (следует отметить, что она не тождественна действительной траектории движения), а скорость такой изображающей точки называют фазовой скоростью.^{[A: 1]}^[1]

Двумерное фазовое пространство динамической системы (её эволюция имеет вид расходящейся спирали)

Концепция фазового пространства была разработана в конце XIX века Людвигом Больцманом, Анри Пуанкаре и Уиллардом Гиббсом.^{[A: 2]}

Общие положенияПравить

Как правило, выбирают пространства с евклидовой метрикой, используя либо декартову, либо полярную систему координат.

Для систем с одной степенью свободы фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость.

Фазовые траекторииПравить

При помощи уравнений траектории в фазовом пространстве (фазовой плоскости) для исследуемой системы строят интегральные кривые, — то есть кривые в фазовом пространстве такие, что в каждой их точке касательная имеет наклон, задаваемый уравнением траектории. Геометрическое построение интегральных кривых называют «качественным интегрированием уравнений».^[2]

Понятия «интегральная кривая» и «фазовая траектория» в общем случае следует различать, «так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий».^[3]

Картину кривых в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) можно описать:

либо одним уравнением — в координатной форме, то есть при помощи уравнений, которые не содержат времени, — и изучать с его помощью интегральные кривые,
либо описывать системой уравнений в параметрической форме, — где независимая переменная $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t$ , время, выполняет роль параметра — и изучать фазовые траектории.^[4]

Необходимость различения этих двух способов изображения одного и того же Family of curves — версия статьи «Семейство кривых» на английском языке семейства кривых^ru_en можно продемонстрировать на примере простейшей консервативной системы, описываемой уравнением $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\ddot {x}}=f(x)$ : в этом случае для особой точки условия теоремы Коши окажутся нарушенными при рассмотрении координатного уравнения, но будут выполнены для уравнения, записанного в параметрической форме.^[4]

Целой фазовой траекторией называют ту кривую в фазовом пространстве, которую описывает изображающая точка за всё время своего движения (от $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=-\infty$ до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=+\infty$ ).^[3]

Фазовый портретПравить

Фазовый портрет исследуемой системы — это совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий.^[3] Его можно рассматривать как Integral manifold — версия статьи «Интегральное многообразие» на английском языке интегральное многообразие^ru_en.^{[A: 3]}

Поскольку при изучении поведения системы интересуются прежде всего стационарными движениями в системе,^[2] то фазовый портрет можно также рассматривать как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений.^{[A: 1]}

Классификацию характера особых точек системы уравнений можно провести на основании особенностей фазового портрета, поскольку как минимум для некоторых систем каждая особая точка системы дифференциальных уравнений является также и особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии.^[4]

Ф.п. обычно как-то деформируется при изменении параметров системы. Качественному изменению ф.п. соответствует исчезновение существующих и рождение новых стационарных решений, — и такое изменение ф.п. называют бифуркационной ситуацией.^{[A: 1]}

Для удобства, изучение фазового портрета системы разделяют^[4] на исследование характера движений системы:

вблизи состояний равновесия,
на всей фазовой плоскости.

При изучении фазового портрета интересует прежде всего общая топологическая картина движений на фазовой плоскости.^[4]

Фазовая скоростьПравить

Фазовая скорость — это скорость изменения состояния системы; она соответствует скорости движения изображающей точки в фазовом пространстве.^[4]

Для вычисления величины фазовой скорости вводят понятие «фазовый радиус-вектор», как это делается в классической механике.^[3]

К примеру, для простейшей консервативной системы, описываемой уравнением $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\ddot {x}}=f(x)$ , скорость изображающей точки вычисляется как:

\text{[math]}

\mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)

и будет всюду определена однозначно, и обращается в ноль только в особой точке.^[4] Модуль фазовой скорости в этом случае будет вычисляться как:

\text{[math]}

v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\right]^{2}}}

,

где:

\text{[math]}

{\frac {dx}{dt}}=y

и

\text{[math]}

{\frac {dy}{dt}}=f(x)

.

Вычисление фазовой скоростью даёт возможность более точно прослеживать изменения в системе. Так, к примеру, в случае бифуркации седло—узел можно обнаружить область состояний системы, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости.^{[A: 1]}

Особенности систем разного типаПравить

Механические системыПравить

В классической механике фазовыми пространствами служат гладкие многообразия. В случае механических систем это пространство чётной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы). Кроме того, в механике движение изображающей точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.^[5]

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Термодинамика и статистическая механикаПравить

В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: 1) он используется в том же смысле, что и в классической механике; 2) он может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. д.

Динамические системыПравить

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика в нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.^{[источник не указан 2054 дня]}

Случай нескольких системПравить

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, надо задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, замкнутая кривая (или поверхность), состоящая из точек фазового пространства гамильтоновой системы эволюционирует так, что площадь (или объём) заключённого в ней фазового пространства сохраняется во времени.^{[источник не указан 2054 дня]}

ПримерыПравить

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.^{[B: 1]}^{[B: 2]} Весьма полезным оно оказалось для изучения феноменов бифуркационной памяти.^{[A: 1]}

Интерпретация состояния движущегося объекта как точки в фазовом пространстве разрешает парадокс Зенона.^{[источник не указан 4622 дня]} (Парадокс состоит в том, что если мы описываем состояние объекта его положением в конфигурационном пространстве, то объект не может двигаться.)

Гармонический осцилляторПравить

Простейшая автономная колебательная система получила название «гармонический осциллятор»; её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

\text{[math]}

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Такая система совершает периодические синусоидальные (гармонические) движения; колебательное движение не возникает лишь в случае $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x_{0}=0$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\dot {x}}_{0}=0$ , то есть когда осциллятор в начальный момент находится в состоянии равновесия — в этом случае он продолжает и дальше в нём оставаться. Координатное уравнение фазовой траектории такой системы задаёт интегральные кривые в виде семейства подобных (с постоянным соотношением осей) эллипсов, причём через каждую точку ф.п. проходит один и только один эллипс. Указанное состояние равновесия является особой точкой этой системы, — а именно центром.^[3]

Квантовый осцилляторПравить

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределённостей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем.^{[A: 4]} Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики.^{[A: 5]} Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Теория хаосаПравить

Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:

Аттрактор Лоренца
Рост населения (то есть логистическое отображение)
Параметрическая плоскость комплексных квадратичных многочленов^ru_en с множеством Мандельброта.

ОптикаПравить

Фазовое пространство широко используется в Nonimaging optics — версия статьи «Неизображающая оптика» на английском языке неизображающей оптике^ru_en,^{[B: 3]} — ответвление оптики, посвящённое освещению и солнечным батареям. Это также важное понятие в Hamiltonian optics — версия статьи «Гамильтонова оптика» на английском языке гамильтоновой оптике^ru_en.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Андронов, 1981, с. 38—41.
↑ ¹ ² Андронов, 1981, Введение, с. 15—34.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Андронов, 1981, Глава I. линейные системы, с. 35—102.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Андронов, 1981, Глава II. Консервативные нелинейные системы, с. 103—167.
↑ В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, Динамические системы — 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 3, ВИНИТИ, М., 1985, 5-290.

ЛитератураПравить

Книги

↑ Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
↑ Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. — М.: Атомиздат, 1972. — 304 с.
↑ Julio Chaves. Introduction to Nonimaging Optics (англ.). — Second Edition. — CRC Press, 2015. — 786 p. — ISBN 978-1482206739. Архивная копия от 18 февраля 2016 на Wayback Machine

Статьи

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Фейгин М.И. Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы (рус.) // Соросовский образовательный журнал : журнал. — 2001. — Т. 7, № 3. — С. 121—127. Архивировано 30 ноября 2007 года.
↑ Nolte, D. D. The tangled tale of phase space (англ.) // Physics Today : журнал. — 2010. — Vol. 63, no. 4. — P. 31–33. — doi:10.1063/1.3397041.
↑ Neishtadt, Anatoly. On stability loss delay for dynamical bifurcation (англ.) // Discrete and Continuous Dymanical Systems — Series S : журнал. — 2009. — Vol. 2, no. 4. — P. 897—909. — ISSN 1937-1632. — doi:10.3934/dcdss.2009.2.897.
↑ Кузнецов Д., Ройлих Д. Квантовый шум при отображении фазового пространства (рус.) // Оптика и Спектроскопия : журнал. — 1997. — Т. 82, № 6. — С. 990—995.
↑ Широков Ю. М. Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства (рус.) // ЭЧАЯ : журнал. — 1979. — Т. 10, № 1. — С. 5–50.

СсылкиПравить

Определения этого понятия см. также в словарях:
- Большая советская энциклопедия.
- Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- Физическая энциклопедия.
- Экономико-математический словарь.
В интернет-портале «Физическая энциклопедия» см. статьи, уточняющие понятие ф.п. в статистической физике и ф.п. в теории динамических систем.
State space В Scholarpedia.org (англ.)

[_ea22bc2b8be001bb-2] Андронов, 1981, с. 38—41.

[Andronov_ww-4] ¹ ² Андронов, 1981, Введение, с. 15—34.

[Andronov_part01-5] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Андронов, 1981, Глава I. линейные системы, с. 35—102.

[Andronov_part02-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Андронов, 1981, Глава II. Консервативные нелинейные системы, с. 103—167.

[8] В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, Динамические системы — 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 3, ВИНИТИ, М., 1985, 5-290.

[b-Andron-1981ru-9] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.

[b-Licht-1972ru-10] Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. — М.: Атомиздат, 1972. — 304 с.

[b-Chaves-2015-13] Julio Chaves. Introduction to Nonimaging Optics (англ.). — Second Edition. — CRC Press, 2015. — 786 p. — ISBN 978-1482206739. Архивная копия от 18 февраля 2016 на Wayback Machine

[a-Feigin-2001-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Фейгин М.И. Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы (рус.) // Соросовский образовательный журнал : журнал. — 2001. — Т. 7, № 3. — С. 121—127. Архивировано 30 ноября 2007 года.

[a-Nolte-2010-3] Nolte, D. D. The tangled tale of phase space (англ.) // Physics Today : журнал. — 2010. — Vol. 63, no. 4. — P. 31–33. — doi:10.1063/1.3397041.

[a-Neishtadt-2009-7] Neishtadt, Anatoly. On stability loss delay for dynamical bifurcation (англ.) // Discrete and Continuous Dymanical Systems — Series S : журнал. — 2009. — Vol. 2, no. 4. — P. 897—909. — ISSN 1937-1632. — doi:10.3934/dcdss.2009.2.897.

[a-Kuznecov-1997-11] Кузнецов Д., Ройлих Д. Квантовый шум при отображении фазового пространства (рус.) // Оптика и Спектроскопия : журнал. — 1997. — Т. 82, № 6. — С. 990—995.

[a-Shirokov-1979-12] Широков Ю. М. Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства (рус.) // ЭЧАЯ : журнал. — 1979. — Т. 10, № 1. — С. 5–50.

[A: 1]

[1]

[A: 2]

[2]

[3]

[4]

[A: 3]

[5]

[B: 1]

[B: 2]

[A: 4]

[A: 5]

[B: 3]