Уравнение Баркера

Уравнение Баркера — уравнение, в неявном виде, определяющее зависимость между положением небесного тела (истинной аномалией) и временем, при движении по параболической орбите. Данное уравнение широко применялось при изучении орбит комет, орбиты которых имеют эксцентриситет близкий к единице. В настоящее время это уравнение находит применение в астродинамике

Задача, приводящая к уравнению БаркераПравить

Решение задачи двух тел дает уравнение траектории в полярных координатах в виде

$r=\frac{p}{1+e\cos <!--\; \; -->\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}$$r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta }}$ 

где $p$$p$  — параметр орбиты; $e$$e$  — эксцентриситет орбиты; $\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}$$\vartheta$  — истинная аномалия — угол между радиус-вектором текущего положения тела и направлением на перицентр. С другой стороны, справедлив второй закон Кеплера

$r^2\frac{d\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{dt}=c$$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c$ 

где $c$$c$  — константа площадей. Исходя из этих уравнений легко получить интеграл, связывающий время и истинную аномалию в точках $A_0$$A_0$  и $A_1$$A_{1}$  орбиты.

$t_1-<!--\; -\; -->t_0=\frac{p^2}{c}\underset{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{\overset{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{{\left(1+e\cos <!--\; \; -->\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}\right)}^2}$$t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2}}}$ 

 

К выводу уравнения Кеплера и уравнения Баркера

Способ вычисления данного интеграла зависит от величины эксцентриситета (см. Уравнение Кеплера). Для параболической траектории $e=1$$e=1$ , в этом случае приходим к тривиальной цепочке преобразований

$t_1-<!--\; -\; -->t_0=\frac{p^2}{c}\underset{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{\overset{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{{\left(1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}\right)}^2}=\frac{p^2}{4c}\underset{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{\overset{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{\int <!--\; \int \; -->}}{\left(1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{2}\right)}^{2}d\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}=\left|\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{2}=z,d\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}=\frac{2dz}{1+z^2}\right|=\frac{p^2}{2c}\underset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{2}}{\overset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{2}}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(1+z^2\right)dz=\frac{p^2}{2c}\left[\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{2}+\frac{1}{3}\left({\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{2}-<!--\; -\; -->{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{2}\right)\right]$$t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right)^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz={\frac {p^{2}}{2\,c}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]$ 

Учитывая, что параметр орбиты связан с константой площадей

$p=\frac{c^2}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$p={\frac {c^{2}}{\mu }}$ 

где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — гравитационный параметр центрального тела, а константа площадей, в случае параболического движения

$c=r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{v}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\sqrt{\frac{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}}$$c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu }{r_{\pi }}}}$ 

где $r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$r_{\pi }$  — расстояние до перицентра; $v_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$v_{\pi }$  — скорость в перицентре, при движении по параболе являющаяся параболической скоростью. Тогда, получаем для параметра орбиты $p=2r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$p=2\,r_{\pi }$  и приходим к окончательному выражению

$t_1-<!--\; -\; -->t_0=r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\sqrt{\frac{2r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}\left[\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{2}+\frac{1}{3}\left({\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_1}{2}-<!--\; -\; -->{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0}{2}\right)\right]$$t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]$ 

Теперь примем, что начальная точка траектории — перицентр, значит ${\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_0=0$$\vartheta _{0}=0$  и преобразуем полученную зависимость к виду

$n\left(t-<!--\; -\; -->t_0\right)=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{2}+\frac{1}{3}{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{2}$$n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}$ 

где $n=\sqrt{\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{2r_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^3}}$$n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3}}}}$  — среднее движение небесного тела. В итоге, получаем кубическое уравнение вида

$S+\frac{1}{3}{S}^3-<!--\; -\; -->M=0$$S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0$ 

где $S=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{2}$$S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ , $M=n\left(t-<!--\; -\; -->t_0\right)$$M=n\,\left(t-t_{0}\right)$  — средняя аномалия орбиты небесного тела. Данное уравнение называют уравнением Баркера.

Это уравнение представляет собой неявную зависимость истинной аномалии от времени $\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(t)$$\vartheta (t)$  при движении небесного тела по параболической траектории.

Решение уравнения БаркераПравить

Уравнение

$S+\frac{S^3}{3}-<!--\; -\; -->M=0$$S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0$ 

является кубическим уравнением, записанным в канонической форме Кардано и имеет аналитическое решение. Средствами компьютерной алгебры легко получить это решение, содержащее один действительный и два комплексно-сопряженных корня

$S_1=x-<!--\; -\; -->\frac{1}{x},S_{2,3}=-<!--\; -\; -->\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\pm <!--\; \pm \; -->i\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)$$S_{1}=x-{\frac {1}{x}},\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2\,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)$ 

где $x=\frac{1}{2}\sqrt[3]{12M+4\sqrt{9M^2+4}}$$x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}}}}$ 

Физическому смыслу данной задачи соответствует только действительный корень, поэтому можно записать

$S=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}{2}=x-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}$$S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}$ 

Имея этот корень, можно вычислить синус и косинус истинной аномалии

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}=\frac{1-<!--\; -\; -->S^2}{1+S^2},\sin <!--\; \; -->\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}=\frac{2S}{1+S^2}$$\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+S^{2}}}\quad$ 

по которым, с учетом их знака, определяется истинная аномалия $\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$\vartheta \in [0,\,2\,\pi )$ 

См. такжеПравить

• Уравнение Кеплера
• Законы Кеплера
• Задача двух тел

ЛитератураПравить

1. С. Херрик. Астродинамика. Том 1. — М.: Мир, 1976. — С. 318.
2. А. Рой. Движение по орбитам. — М.: Мир, 1981. — С. 544.