Тропическая геометрия

Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.

Тропическая прямая на плоскости

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона^[pt], исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации.

Независимо от бразильской школы термин «тропическая» к тому же разделу математики с середины 1980-х годов применял В. П. Маслов. По его мысли, «идемпотентный (тропический) анализ» через посредство термодинамики описывал с экономической точки зрения европейскую колонизацию тропической Африки. Термин «идемпотентный» в научной среде не прижился, а термин «тропическая» применительно к новой математике, как более благозвучный и ёмкий, оказался очень популярным, хотя разные школы вкладывают в него разный смысл.

Основные понятияПравить

 

Тропические кривые второй степени (в разных масштабах). Показаны соответствующие многочлены. Числа у рёбер показывают их кратность, если она не соответствует их наклону.

 

Тропические кривые третьей степени.

• Тропическое полукольцо (или тропическое полуполе) — множество вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , снабжённое операциями тропического сложения $\oplus <!--\; \oplus \; -->$$\oplus$  и тропического умножения $\odot <!--\; \odot \; -->$$\odot$ 

$x\oplus <!--\; \oplus \; -->y=max(x,y),x\odot <!--\; \odot \; -->y=x+y.$$x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.$ 

• Тропический многочлен степени $d$$d$  на плоскости — кусочно-аффинная функция вида

$f(x,y)=\underset{i+j\le <!--\; \le \; -->d}{⨁<!--\; ⨁\; -->}{a}_{i,j}\odot <!--\; \odot \; -->x^{\odot <!--\; \odot \; -->i}\odot <!--\; \odot \; -->y^{\odot <!--\; \odot \; -->j}=\underset{i+j\le <!--\; \le \; -->d}{max}(ix+jy+a_{i,j}).$$f(x,y)=\bigoplus _{{i+j\leq d}}\,a_{{i,j}}\odot x^{{\odot i}}\odot y^{{\odot j}}=\max _{{i+j\leq d}}(ix+jy+a_{{i,j}}).$ 

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида

$f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{|J|\le <!--\; \le \; -->d}{⨁<!--\; ⨁\; -->}{a}_J\odot <!--\; \odot \; -->x^{\odot <!--\; \odot \; -->J}=\underset{|J|\le <!--\; \le \; -->d}{max}(a_J+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{J}_i{x}_i).$$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{{|J|\leq d}}\,a_{{J}}\odot x^{{\odot J}}=\max _{{|J|\leq d}}\,(a_{{J}}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).$ 

• Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену $f$$f$  степени $d$$d$  — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции $f$$f$ . Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней $(i,j)$$(i,j)$  и $(i^{\prime },j^{\prime })$$(i',j')$ , снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей $i-<!--\; -\; -->i^{\prime }$$i-i'$  и $j-<!--\; -\; -->j^{\prime }$$j-j'$ .
• В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки $(x_0,y_0)$$(x_{0},y_{0})$  и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

ЛитератураПравить

• Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropical algebraic geometry. — Basel: Springer, 2009. — viii+104 с. — (Oberwolfach Seminars).

• М. Э. Казарян. Тропическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2012. — 43 с. — (Летняя школа «Современная математика»). — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-966-3.