Амёба (комплексный анализ)

Амёба в комплексном анализе — образ заданного замкнутого аналитического подмножества^[en] $({\mathbb{C}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^n$$(\mathbb {C} ^{*})^{n}$ под действием отображения:

Амёба линейного многочлена p(z, w) = w − 2z − 1

$\mathrm{Log}:({\mathbb{C}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n,(z_1,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(\log <!--\; \; -->|z_1|,\dots <!--\; \dots \; -->,\log <!--\; \; -->|z_n|).$$\operatorname {Log} :(\mathbb {C} ^{*})^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\quad (z_{1},\dots ,z_{n})\mapsto {\big (}\log |z_{1}|,\dots ,\log |z_{n}|{\big )}.$

В частности, амёбой многочлена от нескольких комплексных переменных называется амёба его множества нулей.

Всякая амёба замкнута. Все связные компоненты дополнения к амёбе ${\mathbb{R}}^n\setminus <!--\; \setminus \; -->{\mathcal{A}}_p$$\mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}$ — выпуклые множества. Площадь амёбы ненулевого многочлена от двух комплексных переменных конечна.

Понятие амёбы впервые введено в монографии Гельфанда, Капранова и Зелевинского 1994 года. Названа по визуальному сходству графика с простейшим животным: двумерная амёба имеет несколько «ложноножек», которые экспоненциально сужаются в направлении к бесконечности. Понятие используется в алгебраической геометрии, и, в частности, в тропической геометрии.

Литература Править

• Gelfand I. M., Kapranov M. M., Zelevinsky A. V. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., 1994. — P. x + 523. — (Mathematics: Theory & Applications).
• Mikhalkin G. Real algebraic curves, moment map and amoebas // Ann. of Math.. — 2000. — Vol. 151, № 1. — P. 309—326.
• Viro O. What is an amoeba? // Notices of the AMS. — 2002. — Vol. 49, № 8. — P. 916—917.
• Passare M., Tsikh A. Amoebas: their spines and their contours (англ.) // Idempotent Mathematics and Mathematical Physics : International workshop, February 3–10, 2003, Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics, Vienna, Austria / Eds. Litvinov G. L., Maslov V. P.. — AMS, 2005. — Vol. 377. — ISBN 978-0-8218-3538-8. — ISSN 0271-4132.