Точнорешаемая задача

В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Алгебраические уравненияПравить

Решить уравнение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\left(x\right)=0$ с неизвестным $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ значит найти значения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ (корни уравнения), нули функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f\left(x\right)$ , удовлетворяющие этому уравнению^[1].

Значения неизвестного $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ , которые удовлетворяют уравнению, то есть при подстановке вместо $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ обращают уравнение в тождество, называются корнями уравнения, а также соответствующего ему многочлена.^[2].

Соответственно, Решением некоторого множества (системы) уравнений

\text{[math]}

f_{i}\left({x_{1},x_{2},...}\right)=0\,\,,\,\,\,i=1,2,3,...

с неизвестными $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x_{1},x_{2},x_{3},....$ называется множество значений неизвестных $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x_{1},x_{2},x_{3},....$ , удовлетворяющих одновременно каждому уравнению системы. Система уравнений решена полностью, если найдены все такие решения.^[3].

Решение является приближённым, если при подстановке в алгебраическое уравнение (систему уравнений) разница между значением правой и левой части уравнения будет ниже допустимой погрешности решения.

Дифференциальные (Интегро-дифференциальные) уравненияПравить

В дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях каждое уравнение имеет бесконечное количество численных решений, и потому вопрос стоит о возможности описать совокупность всех численных решений данного дифференциального уравнения^[4].

Решение (интегрирование) дифференциального уравнения заключается в отыскании функций (решений, интегралов) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y\left(x\right)$ в определённом конечном или бесконечном интервале $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\left({a,b}\right)$ . Заметим, что решения могут быть проверены подстановкой в уравнение^[5].

Интегрирование системы дифференциальных уравнений часто можно свести к интегрированию одного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n, путём последовательного исключения (n — 1) переменных и их производных или замены высших производных вспомогательными неизвестными функциями^[6].

Решение является приближённым, если на всём интервале интегрирования $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\left({a,b}\right)$ при подстановке решения в дифференциальное уравнение (систему уравнений) разница между значением правой и левой части уравнения будет ниже допустимой погрешности решения.

Математическая статистикаПравить

Схемы критериев с фиксированной выборкой и последовательных критериев представляют собой частные случаи решающих функций или правил поведения, связанных с принятием гипотезы (решением) по каждой выборке некоторого наблюдаемого признака^[7].

Критерии обоснования решенийПравить

В основу поиска решений как алгебраических, так и дифференциальных уравнений положены теоремы о существовании решений и их единственности.

Теоремы существованияПравить

Для корректности постановки начальной или краевой задачи требуется доказательство существования решения, указывающее иногда и путь его построения. Существование физического явления, описываемого данным дифференциальным уравнением, может лишь подсказать, но не доказать существование решения; доказательство существования проверяет самостоятельность математической модели^[8].

Для алгебраических уравнений теоремы существования базируются на ряде теорем. В частности, на теореме Абеля — Руффини о невозможности получить решения в радикалах для любого степенного уравнения выше пятого; на теореме о соответствии количества корней степени алгебраического уравнения; на критерии устойчивости Рауса — Гурвица, теореме Штурма, определяющих наличие у решений отрицательной действительной части, и т. д.

Для системы уравнений используются правило Крамера; условие нетривиального решения однородных линейных уравнений с нулевой правой частью, заключающееся в обращении в ноль главного детерминанта системы; условие линейной независимости уравнений, заключающееся в равенстве количества неизвестных количеству уравнений системы; условия наличия решения как следствия равенства рангов матрицы и расширенной матрицы системы, и т. д.^[9].

Для дифференциальных уравнений теоремы существования строятся на методе Коши, заключающемся в поиске решения в виде ряда и доказательстве сходимости этого ряда для дифференциальных уравнений при достаточно широких допущениях относительно правой части; на методе приближений Пикара^[10], методе сжатых изображений^[11] и т. д.

Теоремы единственности решенийПравить

Данный класс теорем определяет единственность и полноту решений как алгебраических, так и интегро-дифференциальных уравнений. В частности, для дифференциальных уравнений геометрическая трактовка теорем такова: через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая. Для системы алгебраических уравнений теорема единственности устанавливает, что система n уравнений может иметь не более n решений. В аналитической геометрии теорема единственности определяет единственность разложения вектора по базису, как и независимость векторов базиса (полноту базиса)^[12]. В теории функций теорема единственности доказывает однозначность представления каждой совокупности точек в некоторой области конкретной аналитичской функцией^[13]. В отношении единственности представления аналитическими функциями следует учитывать, что в общем случае одна и та же совокупность точек может описываться как некоторой частной функцией, так и обобщающей её функцией, принимающей различный вид в каждой из областей определения функции. Это порождает бифуркации (ветвления) функции, а соответственно и решений моделирующей системы уравнений^[14].

Данный класс теорем, как правило, доказывается «от противного», то есть предполагается, что при заданных условиях теоремы существует несколько решений, векторы базиса могут быть выражены друг через друга и т. д. и путём рассмотрения данного предположения приводят к выводу о некорректности сделанного предположения, чем доказывается основное утверждение теоремы о единственности решения^[15].

Формы представления решенийПравить

Решения уравнений могут быть получены в одной из двух форм:

Аналитическая форма
Численный вид

Аналитическая форма всегда предпочтительней, поскольку позволяет использовать решение для прямого анализа влияния входящих в него параметров. В численном виде это затруднительно. Численные и приближённые методы решения используются в связи с тем, что диапазон точных решений существенно ограничен^[16]. Наилучший результат дают комбинированные решения, когда в основу численного метода закладывается некоторое аналитическое решение близкой задачи, которое распространяется численными методами на область задач, где аналитические решения отсутствуют. Главная опасность, которая существует в данном комбинированном методе, заключается в неучёте особенностей перехода от точно решаемой к численно решаемой задаче. В частности, существующие приближённые решения для динамических систем с сосредоточенными параметрами, через известные аналитические решения для систем с распределёнными параметрами, содержат систематическую ошибку по фазе колебаний, которая возникает в связи с тем, что при предельном переходе от систем с сосредоточенными параметрами к системам с распределёнными параметрами фазовые соотношения трансформируются таким образом, что при обратном переходе невосстановимы^[17].

ПримечанияПравить

↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 41
↑ Виноградов И. М. Алгебраическое уравнение. Математическая энциклопедия. М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 192
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 49
↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 9
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 252
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 253
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 565
↑ Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 253
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 50
↑ Фрейман Л. С. Теоремы существования. М., Наука, 1968.
↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 153
↑ Гурский Е. И., Ершова В. В. Основы линейной алгебры и аналитическая геометрия. Минск, Вышейшая школа, 1968, с. 113
↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 1-2, М., Наука,1969, с. 426
↑ Solutions for infinite elastic lumped lines_rus
↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 159
↑ Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969, с. 39.
↑ Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний84

[1] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 41

[2] Виноградов И. М. Алгебраическое уравнение. Математическая энциклопедия. М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 192

[3] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 49

[4] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 9

[5] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 252

[6] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 253

[7] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 565

[8] Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 253

[9] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 50

[10] Фрейман Л. С. Теоремы существования. М., Наука, 1968.

[11] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 153

[12] Гурский Е. И., Ершова В. В. Основы линейной алгебры и аналитическая геометрия. Минск, Вышейшая школа, 1968, с. 113

[13] Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 1-2, М., Наука,1969, с. 426

[14] Solutions for infinite elastic lumped lines_rus

[15] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 159

[16] Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969, с. 39.

[17] Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний84

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]