Тождество Поллачека — Спитцера

То́ждество Полла́чека — Спи́тцера — тождество, связывающее характеристическую функцию сумм независимых случайных величин.

ФормулировкаПравить

При $|z|<1$  , $Im\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$Im\lambda \geqslant 0$  справедливо тождество: $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{z}^{n}M{e}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S_n}}=\exp <!--\; \; -->\mathcal{f}\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{z^k}{k}M{e}^{i\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}max(0,S_k)}\mathcal{g}$$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}z^{{n}}Me^{{\lambda \overline {S_{{n}}}}}=\exp {\mathcal {f}}\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {z^{k}}{k}}Me^{{i\lambda max(0,S_{{k}})}}{\mathcal {g}}$ 

ПоясненияПравить

В формулировке теоремы $\mathcal{f}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k\mathcal{g}$${\mathcal {f}}\xi _{{k}}{\mathcal {g}}$  последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим $S_n=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k,S_0=0$$S_{{n}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}\xi _{{k}},S_{{0}}=0$ , а $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S_n}=max(0,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n)=max(0,S_1,...,S_n)$$\overline {S_{{n}}}=\max(0,\xi _{{n}})=\max(0,S_{{1}},...,S_{{n}})$ . Тождество связывает характеристическую функцию $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S_n}$$\overline {S_{{n}}}$  с характеристическими функциями $max(0,S_n)$$\max(0,S_{{n}})$ .

ЛитератураПравить

• Боровков, А. А. Курс теории вероятностей. — М. : Наука, 1972. — С. 184.