Гильбертов кирпич

Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $[0,1]$$[0,1]$ (с топологией произведения).

СвойстваПравить

• По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
• Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2$$\ell ^{2}$ :

  $\left[0,1\right]\times <!--\; \times \; -->\left[0,\frac{1}{2}\right]\times <!--\; \times \; -->\left[0,\frac{1}{3}\right]\times <!--\; \times \; -->\dots <!--\; \dots \; -->,$$\left[0,1\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\times \left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]\times \dots ,$ 

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности $\{x_n\}$$\{x_n\}$  гильбертова пространства ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2$$\ell ^{2}$ , такие, что

$0⩽<!--\; ⩽\; -->x_n⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{n}$$0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac 1{n}}$ .

• Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
• Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.

См. такжеПравить

• Единичный куб
• Тихоновский куб