Тетраэдр Рёло

Тетра́эдр Рёло́ — тело, являющееся пересечением четырёх одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Это тело является пространственным аналогом треугольника Рёло как пересечения трёх кругов на плоскости.

Тетраэдр Рёло

Однако, в отличие от треугольника Рёло, тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных рёбер, соединяющих его вершины, в

\text{[math]}

{\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=1.02494\ldots

{\sqrt {3}}-{\frac {{\sqrt {2}}}{2}}=1.02494\ldots

раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра^[1]^[2].

Тела МейсснераПравить

Тетраэдр Рёло можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается»^[2]^[3]. Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник^[3]) называются телами Мейсснера, или тетраэдрами Мейсснера^[1]^[4]. Сформулированная Томми Боннесеном и Вернером Фенхелем в 1934 году^[5] гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют^{[источник не указан 3516 дней]} объём среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2019 год) эта гипотеза не доказана^[2].

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Weisstein E. W. Reuleaux Tetrahedron (англ.). MathWorld. Дата обращения: 15 сентября 2011. Архивировано 3 сентября 2011 года.
↑ ¹ ² ³ Kawohl B., Weber C. Meissner’s Mysterious Bodies (англ.) // Mathematical Intelligencer. — 2011. — Vol. 33, no. 3. — P. 94—101. — doi:10.1007/s00283-011-9239-y. Архивировано 13 июля 2012 года.
↑ ¹ ² Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 218.
↑ Weber C. Meissner Bodies – interactive (англ.). SwissEduc. Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 22 марта 2013 года.
↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Springer-Verlag, 1934. — P. 127—139. (нем.)

ЛитератураПравить

Gardner M. Chapter 18: Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago; London: University of Chicago Press, 1991. — P. 212—221. — 264 p. — ISBN 978-0-2262-8256-5. (англ.)
Kawohl B. Convex Sets of Constant Width (англ.) // Oberwolfach Reports. — 2009. — Vol. 6. — P. 390—393.
Weber C. Bodies of Constant Width (англ.). SwissEduc. Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 22 марта 2013 года.

[wolfram-tetra-1] ¹ ² Weisstein E. W. Reuleaux Tetrahedron (англ.). MathWorld. Дата обращения: 15 сентября 2011. Архивировано 3 сентября 2011 года.

[Kawohl-Weber-2] ¹ ² ³ Kawohl B., Weber C. Meissner’s Mysterious Bodies (англ.) // Mathematical Intelligencer. — 2011. — Vol. 33, no. 3. — P. 94—101. — doi:10.1007/s00283-011-9239-y. Архивировано 13 июля 2012 года.

[gardner218-3] ¹ ² Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 218.

[meissner-swisseduc-4] Weber C. Meissner Bodies – interactive (англ.). SwissEduc. Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 22 марта 2013 года.

[5] Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Springer-Verlag, 1934. — P. 127—139. (нем.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]