Теория Эйнштейна — Картана

Теория Эйнштейна — Картана (ЭК) была разработана как расширение общей теории относительности, внутренне включающее в себя описание воздействия на пространство-время кроме энергии-импульса также и спина материальных полей. В теории ЭК вводится аффинное кручение, а вместо псевдоримановой геометрии для пространства-времени используется геометрия Римана — Картана. В результате от метрической теории переходят к аффинной теории пространства-времени. Результирующие уравнения для описания пространства-времени распадаются на два класса. Один из них аналогичен общей теории относительности, с тем отличием, что в тензор кривизны включены компоненты с аффинным кручением. Второй класс уравнений задаёт связь тензора кручения и тензора спина материи и излучения. Получаемые поправки к общей теории относительности в условиях современной Вселенной настолько малы, что пока не видно даже гипотетических путей для их измерения.

Состояние теории и её основные уравненияПравить

Теория Картана стоит особняком среди альтернативных теорий гравитации как потому, что она неметрическая, так и потому, что она очень старая. Состояние теории Картана неясно. Уилл (1986) утверждает, что все неметрические теории противоречат Эйнштейновскому принципу эквивалентности (ЭПЭ), и поэтому должны быть отброшены. В одной из последующих работ Уилл (2001) смягчает это утверждение, разъясняя экспериментальные критерии тестирования неметрических теорий на удовлетворение ЭПЭ. Мизнер, Торн и Уилер (1973) утверждают, что теория Картана является единственной неметрической теорией, проходящей все экспериментальные тесты, а Турышев (2007) приводит эту теорию в списке удовлетворяющих всем текущим экспериментальным ограничениям.

Картан (1922, 1923) предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна, введя модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной связностью, ассоциированной с метрикой, но не обязательно симметричной. Антисимметричная часть связности — тензор кручения — связывается в этой теории с плотностью внутреннего момента импульса (спина) материи. Независимо от Картана, похожие идеи развивали Сиама, Киббл и Хейл в промежутке от 1958 до 1966 года.

Исходно теория была развита в формализме дифференциальных форм, но здесь она будет изложена на тензорном языке. Лагранжева плотность гравитации в этой теории формально совпадает с таковой ОТО и равняется скаляру кривизны:

$L=\frac{1}{16\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G}R(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->},g),$$L={1 \over 16\pi G}R(\Gamma ,g)\;,$ 

однако введение кручения модифицирует связность, которая теперь не равняется символам Кристоффеля, а равна их сумме с тензором конторсии

${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\left\{{}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right\}+K_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$$\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\mu }=\left\{{^{{\ \mu \ }}_{{\;\nu \lambda \;}}}\right\}+K_{{\nu \lambda }}^{\mu }\;,$ 

$K_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=Q_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}+Q_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+Q_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},Q_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{1}{2}({\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}),$$K_{{\mu \nu \lambda }}=Q_{{\mu \nu \lambda }}+Q_{{\lambda \nu \mu }}+Q_{{\nu \lambda \mu }},\qquad Q_{{\mu \nu \lambda }}={\frac 12}(\Gamma _{{\mu \nu \lambda }}-\Gamma _{{\mu \lambda \nu }})\;,$ 

где $Q_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$Q_{{\mu \nu \lambda }}\;$  — антисимметричная часть линейной связности — кручение. Предполагается, что линейная связность является метрической, что снижает количество степеней свободы, присущих неметрическим теориям. Уравнения движения этой теории включают 10 уравнений для тензора энергии-импульса, 24 уравнения для канонического тензора спина и уравнения движения материальных негравитационных полей:

$R_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}R+4{B^{[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{B^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}]}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+2B_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{B_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->B_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{B_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->$$R_{{\mu \nu }}-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}R+4{B^{{[\alpha }}}_{{\beta \mu }}{B^{{\beta ]}}}_{{\alpha \nu }}+2B_{{\beta \alpha \mu }}{B_{\nu }}^{{\beta \alpha }}-B_{{\mu \beta \alpha }}{B_{\nu }}^{{\beta \alpha }}-$ 

$-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(4{{B_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}_{[\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{B^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}]}+B_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{B}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}})=\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}{T}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},$$-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}(4{{B_{{\alpha }}}^{{\beta }}}_{{[\lambda }}{B^{{\alpha \lambda }}}_{{\beta ]}}+B_{{\alpha \beta \gamma }}B^{{\alpha \beta \gamma }})=\kappa T_{{\mu \nu }}\;,$ 

${Q^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{Q}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{Q}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}{s^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},$${Q^{\lambda }}_{{\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }=\kappa {s^{\lambda }}_{{\mu \nu }}\;,$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_A}+({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}-<!--\; -\; -->2Q_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}})\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_A}=0,$${\frac {\partial L}{\partial \phi _{A}}}+(\nabla _{\lambda }-2Q_{\lambda }){\frac {\partial L}{\partial \nabla _{\lambda }\phi _{A}}}=0\;,$ 

где $T_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{g}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}(\sqrt{-<!--\; -\; -->g}{L}_m)$$T_{{\mu \nu }}={\frac \delta {\delta g^{{\mu \nu }}}}({\sqrt {-g}}L_{m})\;$  — метрический тензор энергии-импульса материи, $s_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{L}_m}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{Q}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$$s_{{\mu \nu }}^{\lambda }={\frac {\delta L_{m}}{\delta Q_{\lambda }^{{\mu \nu }}}}\;$  — канонический тензор спина, ${B^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}={Q^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{Q}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{Q}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$${B^{\lambda }}_{{\mu \nu }}={Q^{\lambda }}_{{\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }\;$ , а $Q_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={Q^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$Q_{\mu }={Q^{\lambda }}_{{\mu \lambda }}\;$  — след тензора кручения.

Кривизна пространства-времени при этом — не риманова, но на римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану ОТО. Эффекты неметричности в данной теории являются настолько малыми, что ими можно пренебречь даже в нейтронных звёздах. Единственной областью сильных расхождений оказывается, возможно, очень ранняя Вселенная. Привлекательной чертой этой теории (и её модификаций) является возможность получения несингулярных решений типа «отскока» для Большого Взрыва (см. Минкевич и соавт. (1980)).

См. такжеПравить

• Калибровочная теория гравитации
• Альтернативные теории гравитации