Теория Купмана — фон Неймана

Теорией Ку́пмана — фон Не́ймана (KvN-теорией) в математической физике называется оригинальная переформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Купманом. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шрёдингера и т. д.

Идеологически KvN-теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путём преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определённую в классическом фазовом пространстве. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в 1931—1932 годах.

История созданияПравить

Истоки KvN-теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики. К началу 1931 года серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л. Больцманом ещё в 1887 году. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов, взяв за исходный пункт микроскопическую картину движения большого ансамбля молекул, происходящего в соответствии с законам ньютоновской механики.

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршалла Стоуна по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов. Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана, который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путём постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна.

Такое операторное представление классической механики было в то время совершенно новой идеей; оно побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Опираясь на результаты Купмана и А. Вейля, он завершил создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году опубликовал серию работ, которые стали основополагающими для современной эргодической теории (в данных работах была, в частности, доказана знаменитая статистическая эргодическая теорема^[en]). Любопытно, что в этом же году фон Нейман опубликовал также книгу «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», содержавшую первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

Основные положения и свойстваПравить

Отправной точкой KvN-теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t,p,q)$$\Psi (t,p,q)$  координат $q$$q$  и импульсов $p$$p$ , оснащённого следующим скалярным произведением:

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_1(t)|{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_2(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{p}{\int <!--\; \int \; -->}\underset{q}{\int <!--\; \int \; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_1^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t,p,q){\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_2(t,p,q)dqdp,$$\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}\Psi _{1}^{*}(t,p,q)\Psi _{2}(t,p,q)\,dq\,dp,$

(1)

где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака). Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p,q,t)$$\rho (p,q,t)$  нахождения частицы в заданной точке $(p,q)$$(p,q)$  фазового пространства в момент времени $t$$t$ :

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(t,p,q)=|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t,p,q){|}^2.$$\rho (t,p,q)=|\Psi (t,p,q)|^{2}.$

(2)

Из данного постулата и определения (1) помимо условия нормировки $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=1$$\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =1$  следует, что среднее значение $⟨<!--\; ⟨\; -->X⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle X\rangle$  произвольной физической величины $X$$X$ , заданной действительной функцией $X(p,q)$$X(p,q)$  может быть найдено по формуле

$⟨<!--\; ⟨\; -->X⟩<!--\; ⟩\; -->(t)=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->,$$\langle X\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {X}}\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t){\hat {X}}|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {X}}|\Psi (t)\rangle ,$

(3)

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над $X$$X$  будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t,p,q)$$\Psi (t,p,q)$  название классической волновой функции.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля $i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\hat {L}}\rho$  для классического распределения плотности вероятности $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(t,p,q)$$\rho (t,p,q)$  в фазовом пространстве:

$i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->,$$i{\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle ={\hat {L}}|\Psi \rangle ,$

(4)

где

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}=-<!--\; -\; -->i{H}_p(x,p)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+i{H}_x(x,p)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}$${\hat {L}}=-iH_{p}(x,p){\frac {\partial }{\partial x}}+iH_{x}(x,p){\frac {\partial }{\partial p}}$

(5)

есть классический оператор Лиувилля. Из данного постулата с учетом свойств (2) и (3) классической волновой функции можно получить для неё наиболее общее выражение:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t,p,q)=\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(t,p,q)}{e}^{i\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t,p,q)},$$\Psi (t,p,q)={\sqrt {\rho (t,p,q)}}e^{i\phi (t,p,q)},$

(6)

в котором фаза $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t,p,q)$$\phi (t,p,q)$  является произвольной действительной функцией своих аргументов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения (5) и (6) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения (5) имеет следующий вид:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}=-<!--\; -\; -->H_p(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_x+H_x(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_p,$${\hat {L}}=-H_{p}({\hat {x}},{\hat {p}}){\hat {\lambda }}_{x}+H_{x}({\hat {x}},{\hat {p}}){\hat {\lambda }}_{p},$

(7)

где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_x,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_p$${\hat {x}},{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {\lambda }}_{p}$  являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

$[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_x]=i;[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_p]=i;[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}]=[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_p,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_x]=[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_x]=[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_p,\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}]=0,$$[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]=i;\quad [{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p}]=i;\quad [{\hat {p}},{\hat {x}}]=[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {x}}]=0,$

(8)

в которых скобками $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]$$[\cdot ,\cdot ]$  обозначен коммутатор операторов. Соотношения (8) представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики. Легко проверить, что выражение (5) получается из (8) при выборе $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}=x$${\hat x}=x$ , $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}=p$${\hat {p}}=p$ , ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_x=-<!--\; -\; -->i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$${\hat {\lambda }}_{x}=-i{\frac {\partial }{\partial x}}$ , ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}_p=-<!--\; -\; -->i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}$${\hat {\lambda }}_{p}=-i{\frac {\partial }{\partial p}}$ . Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине $X(p,q)$$X(p,q)$  ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}=X(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q})$${\hat {X}}=X({\hat {p}},{\hat {q}})$ , получаемый путём подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}$$\hat x$  и $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}$${\hat {p}}$  коммутируют. По этой же причине KvN-операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения (7) также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением (4) описывается некоторым унитарным преобразованием $U_t$$U_{t}$  классической волновой функции: $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=U_t|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(0)⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi (t)\rangle =U_{t}|\Psi (0)\rangle$ , причём отображение $t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->U_t$$t\mapsto U_{t}$  представляет собой однопараметрическую группу. В этом смысле уравнение (4) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN-теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы. В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы теории возмущений и функционального интегрирования, фейнмановскую диаграммную технику.

Соотнесение с квантовой механикойПравить

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN-теория имеет с ней существенные различия. Прямая проверка показывает, что эволюция классической волновой функции (6) по закону (4) распадается на два независимых уравнения для фазы $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t,p,q)$$\phi (t,p,q)$  и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t,p,q)$$\phi (t,p,q)$  в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несёт важную информацию о квантовой когерентности, которая и является источником всех специфически квантовых эффектов. По той же причине неселективное измерение не приводит к изменению классической волновой функции.

Классическая эволюция KvN-функции $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t,p,q)$$\Psi (t,p,q)$

Квантовая эволюция функции Вигнера $P(t,p,q)$$P(t,p,q)$

Подробности Видеофайлы иллюстрируют, соответственно, классическую и квантовую динамику распределения частиц единичной массы в потенциале Морзе: $U(x)=20(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->0,16x}{)}^2$$U(x)=20(1-e^{-0{,}16x})^{2}$  для идентичных начальных условий: $P(0,p,q)=\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(0,p,q)$$P(0,p,q)=\Psi (0,p,q)$ . Чёрные точки изображают перемещения классических частиц в соответствии с законами ньютоновской динамики. Чёрные линии являются уровнями одинаковой полной (кинетическая + потенциальная) энергии частиц.

Еще одним фундаментальным отличием KvN-механики является обособленное место генератора движения (7) — классического лиувиллиана. Оператор (7) — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин (которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений (8)). По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_x$$\lambda _{x}$  and ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_p$$\lambda _{p}$ . Квантовомеханический случай значительно проще. Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в уравнении Шрёдингера, одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне. Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику?

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана классическим пределом какого-либо квантового представления. Ответ, причём достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является чистое квантовое состояние. Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме (7) получается как классический предел $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\hbar \to 0$  в соответствующем генераторе движения для функции Вигнера $P(p,q)$$P(p,q)$ . Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории. Укрощения борьбы противоположностей можно добиться, введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме (1) и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних

$⟨<!--\; ⟨\; -->X⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{p}{\int <!--\; \int \; -->}\underset{q}{\int <!--\; \int \; -->}X(p,q)P(p,q)dqdp$$\langle X\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}X(p,q)P(p,q)\,dq\,dp$

(9)

правило (3) (с подстановкой функции $P(p,q)$$P(p,q)$  вместо $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(p,q)$$\Psi (p,q)$ ). Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний (т. е. результаты вычисления по формулам (3) и (9) совпадают) и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\hbar \to 0$ . Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности «функции квазивероятностного распределения Вигнера», поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией $P(p,q)$$P(p,q)$ , а вычисляется по формуле (2) и всегда положительно. Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай смешанных квантовых состояний.

ЗначениеПравить

За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому её упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике. По причине сравнительно низкой известности теории её историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными.

В современных работах KvN-теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений. Однако основная её ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации. Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами.

ЛитератураПравить

• Mauro, D. (2002). «Topics in Koopman — von Neumann Theory». arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph]. (существует выборочный перевод на русский язык М. Х. Шульмана: [2]).
• John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
• H.R. Jauslin, D. Sugny, Dynamics of mixed classical-quantum systems, geometric quantization and coherent states (недоступная ссылка), Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol., August 13, 2009
• The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer. — Amata Graphics, 2006. — ISBN 0821842196