Сферические теоремы косинусов

Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника.

Сферический треугольник.

ФормулировкаПравить

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:

$\cos <!--\; \; -->c=\cos <!--\; \; -->a\cos <!--\; \; -->b+\sin <!--\; \; -->a\sin <!--\; \; -->b\cos <!--\; \; -->C,$$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,$ 

$\cos <!--\; \; -->A=-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->B\cos <!--\; \; -->C+\sin <!--\; \; -->B\sin <!--\; \; -->C\cos <!--\; \; -->a.$$\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.$ 

Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них.

Доказательство

 

Рисунок к доказательству теоремы косинусов с помощью проекций.

Доказательство проведём с помощью проекций. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π - C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

$\text{pr }ON=\text{pr }OM+\text{pr }MP+\text{pr }PN$${\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN$ ,

$PN\perp <!--\; \perp \; -->OA\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\text{pr }PN=0$$PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0$ ,

$\text{pr }OM=OM\cos <!--\; \; -->b=R\cos <!--\; \; -->a\cos <!--\; \; -->b$${\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b$ ,

$\text{pr }MP=PM\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}MPN))=PM(-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}MPN)$${\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)$ 

$=BM\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}PMB(-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->b)=BM\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->C)(-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->b)=R\sin <!--\; \; -->b\sin <!--\; \; -->a\cos <!--\; \; -->C$$=BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C$ .

Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем:

$\cos <!--\; \; -->c=\cos <!--\; \; -->a\cos <!--\; \; -->b+\sin <!--\; \; -->a\sin <!--\; \; -->b\cos <!--\; \; -->C$$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$ .

Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв:

$a\to <!--\; \to \; -->b\to <!--\; \to \; -->c\to <!--\; \to \; -->a,A\to <!--\; \to \; -->B\to <!--\; \to \; -->C\to <!--\; \to \; -->A$$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$ 

 

Сферический треугольник для определения кратчайшего расстояния между точками на Земле.

Следствия и применениеПравить

См. также: Решение треугольников

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

$\cos <!--\; \; -->c=\cos <!--\; \; -->a\cos <!--\; \; -->b.$$\cos c=\cos a\cos b.$ 

Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_A$$\varphi _{A}$  и ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_B$$\varphi _{B}$ , разность долгот — $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{AB}$$\Delta \lambda _{AB}$ , кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии:

$\cos <!--\; \; -->\left(\frac{d}{a}\right)=\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_A\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_B+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_A\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_B\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{AB}$$\cos\left (\frac{d}{a}\right)=\sin\varphi_A\cdot\sin\varphi_B+\cos\varphi_A\cdot\cos\varphi_B\cdot\cos\Delta\lambda_{AB}$ 

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника P_nAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам.

Пример 1: определение углового расстояния между двумя светилами на небесной сфере

Определим угловое расстояние (x) между звездой δ Цефея (экваториальные координаты: α₁=22ч 29м, δ₁=+58° 25′) и галактикой Туманность Андромеды (α₂=0ч 43м, δ₂=+41° 16′) на небесной сфере. Выражаем α₁ в градусах и долях градуса:

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1=\left(22+\frac{29}{60}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{360}{24}={337}^{\circ <!--\; \circ \; -->},25$$\alpha_1 = \left (22+\frac{29}{60}\right )\cdot\frac{360}{24}=337^\circ,25$ 

Аналогично получаем, что α₂=10°,75. Выражаем δ₁ в градусах и долях градуса:

${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_1=58+\frac{25}{60}={58}^{\circ <!--\; \circ \; -->},42$$\delta_1 = 58+\frac{25}{60}=58^\circ,42$ 

Аналогично δ₂=41°,27. Применяем теорему косинусов:

$\begin{align} \cos x & = \cos(90^\circ-\delta_1)\cdot\cos(90^\circ-\delta_2)+\sin(90^\circ-\delta_1)\cdot\sin(90^\circ-\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1-\alpha_2)\\ & =\sin 58^\circ,42\cdot\sin 41^\circ,27+\cos 58^\circ,42\cdot\cos 41^\circ,27\cdot\cos (337^\circ,25-10^\circ,75)\\ &=0,89 \end{align}$ 

Отсюда x=27°,11.

Теорема косинусов в её втором виде (соотношение между тремя углами и стороной) может быть применена для вычисления взаимного наклонения двух орбит при известном наклонении каждой орбиты к какой-то другой плоскости. Например, по этой формуле можно вычислить наклонение орбиты Плутона к орбите Нептуна, используя наклонения их орбит к эклиптике и долготы их восходящих узлов.

Пример 2: определение взаимного наклонения орбит небесных тел

Определим взаимное наклонение (x) орбит Плутона (наклонение орбиты к эклиптике — 17°,14, долгота восходящего узла — 110°,30) и Нептуна (наклонение орбиты к эклиптике — 1°,77, долгота восходящего узла — 131°,79). В соответствующем сферическом треугольнике известны два угла: один равен наклонению орбиты Плутона к эклиптике, другой — дополнению наклонения орбиты Нептуна к эклиптике до 180 градусов. Известна также прилегающая к этим углам сторона, равная разности долгот восходящих узлов Плутона и Нептуна. Осталось применить второй вариант теоремы косинусов — для углов:

$\begin{align} \cos x & = -\cos(17^\circ,14)\cdot\cos(180^\circ-1^\circ,77)+\sin(17^\circ,14)\cdot\sin(180^\circ-1^\circ,77)\cdot\cos(131^\circ,79-110^\circ,30)\\ & \approx0,9636\\ \end{align}$ 

Отсюда x≈15°,51.

ИсторияПравить

Основная статья: История тригонометрии

Математики средневекового Востока использовали утверждение, равносильное сферической теореме косинусов, при решении конкретных астрономических задач. Эти соотношения, используемые при определении высоты Солнца, встречаются в сочинениях Сабита ибн Корры, ал-Махани, ал-Баттани, Ибн Юниса, ал-Бируни.

Первая явная формулировка теоремы дана в XV веке Региомонтаном, который назвал её «теоремой Альбатегния» (по латинизированному имени ал-Баттани).

См. такжеПравить

• Сферическая теорема синусов
• Теорема косинусов

ЛитератураПравить

• Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. 2-е изд., ИГКЛ, 1948, 115с.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.-М., 1948.