Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах — фундаментальная теорема стереометрии.

ФормулировкаПравить

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

 

ДоказательствоПравить

Пусть $AB$$AB$  — перпендикуляр к плоскости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , $AC$$AC$  — наклонная и $c$$c$  — прямая в плоскости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , проходящая через точку $C$$C$  и перпендикулярная проекции $BC$$BC$ . Проведём прямую $CK$$CK$  параллельно прямой $AB$$AB$ . Прямая $CK$$CK$  перпендикулярна плоскости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  (так как она параллельна $AB$$AB$ ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, $CK$$CK$  перпендикулярна прямой $c$$c$ . Проведём через параллельные прямые $AB$$AB$  и $CK$$CK$  плоскость $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая $c$$c$  перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , это $BC$$BC$  по условию и $CK$$CK$  по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой $AC$$AC$ .

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярахПравить

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

ДоказательствоПравить

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК , значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

 

Пример использованияПравить

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

РешениеПравить

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

СсылкиПравить

• Опорные задачи