Теоремы Томсона и Тета

Теоремы Томсона и Тета ― формулируют условия, необходимые для того, чтобы можно было стабилизировать гироскопическими силами неустойчивую потенциальную систему. Были доказаны в 1879 г.. Пользуясь теоремой Томсона и Тета, можно исследовать устойчивость волчка, системы инерциальной навигации и гироскопического однорельсового вагона.

Первая теорема Томсона и ТетаПравить

Если неустойчивость невозмущенного движения потенциальной системы имеет нечётную степень, то стабилизировать движение нельзя никакими гироскопическими силами.

Вторая теорема Томсона и ТетаПравить

Если невозмущенное движение $z=0$$z=0$  и $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{z}=0$${\dot {z}}=0$  потенциальной системы устойчиво, то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил (не обязательно полной диссипации) устойчивость движения сохраняется.

Третья теорема Томсона и ТетаПравить

Если невозмущенное движение $z=0$$z=0$  и $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{z}=0$${\dot {z}}=0$  устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.

Четвёртая теорема Томсона и ТетаПравить

Невозмущенное движение $z=0$$z=0$  и $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{z}=0$${\dot {z}}=0$ , неустойчивое под действием потенциальных сил, остаётся неустойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.

ПоясненияПравить

Степенью неустойчивости называется число отрицательных коэффициентов $c_k$$c_{k}$  в системе $s$$s$  уравнений $\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{z_1}+c_1{z}_1=0,...\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{z_s}+c_s{z}_s=0$${\ddot {z_{1}}}+c_{1}z_{1}=0,...{\ddot {z_{s}}}+c_{s}z_{s}=0$ , описывающей движение возмущённой системы.

Гироскопическими называются силы $F=G\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}$$F=G{\dot {x}}$ , линейно зависящие от скоростей и имеющие кососимметрическую матрицу коэффициентов $G=\Vert g_{kj}\Vert$$G=\left\|g_{kj}\right\|$ 

Диссипативными называются силы $F=B\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}$$F=B{\dot {x}}$ , линейно зависящие от скоростей и имеющие симметрическую матрицу коэффициентов $B=\Vert b_{kj}\Vert$$B=\left\|b_{kj}\right\|$ , такую, что квадратичная форма $F=\frac{1}{2}B\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}$$F={\frac {1}{2}}B{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}$  положительна.

ЛитератураПравить

• Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. — М.: Наука, 1971. — 312 с.