Теорема о свадьбах

Теорема о свадьбах (также теорема о мальчиках и девочках, теорема Холла) — утверждение о том, что в двудольном графе для любого натурального $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k$ $k$ любые $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k$ $k$ вершин одной из долей, где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k$ $k$ не превышает числа вершин доли, связаны по крайней мере с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k$ $k$ различными вершинами другой доли тогда и только тогда, когда граф разбивается на пары по первой доле.

Теорема о свадьбах

Доказана в 1935 году Филиппом Холлом.^[1]

О доказательствахПравить

Одно из доказательств следует немедленно из венгерского алгоритма для поиска максимального паросочетания в графе.

Также теорема является следствием из теоремы Форда — Фалкерсона о разрезаниях транспортных сетей.

Для случая регулярных графов степени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n}$ теорема легко выводится из существования эйлерова цикла в каждой связной компоненте графа; на этой идее можно построить доказательство для всех регулярных графов.^[2]

Вариации и обобщенияПравить

Из теоремы о свадьбах немедленно следует, что любой регулярный двудольный граф степени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $r\geqslant 1$ допускает совершенное паросочетание.

Теорема обобщается на двудольные графы с бесконечным множеством вершин, при условии, что все вершины имеют конечную степень.

Пример бесконечного двудольного графа в котором не выполняется теорема о свадьбах

Пример бесконечного двудольного графа, для которого теорема не верна — прямой цилиндрический стакан, который строится следующим образом: первая доля множества вершин — точки верхней окружности стакана и центр нижнего основания; вторая доля — точки окружности нижнего основания; рёбра графа — все радиусы нижнего основания и вертикальные отрезки боковой поверхности.

теорема Татта о паросочетаниях — обобщение теоремы о свадьбах на случай произвольных конечных, но необязательно двудольных, графов.

Теорема Кёнига — близкое утверждение, связывающее нахождение наибольшего паросочетания и наименьшего вершинного покрытия в конечных графах.

ПримечанияПравить

↑ Hall, Philip (1935), On Representatives of Subsets, J. London Math. Soc. Т. 10 (1): 26–30, DOI 10.1112/jlms/s1-10.37.26
↑ G. Kalai. The seventeen camels riddle, and Noga Alon’s camel proof and algorithms (англ.). — 2017. Архивировано 28 августа 2020 года.

СсылкиПравить

Н. Костюкова, Курс «Графы и их применение», Лекция 15: Паросочетания и свадьбы: «Теорема Холла о свадьбах» // Интуит.ру, 25.07.2006
А. Ю. Эвнин. Вокруг теоремы Холла (рус.) // Математическое образование. — 2005. — Т. 3(34). — С. 2—23.

[1] Hall, Philip (1935), On Representatives of Subsets, J. London Math. Soc. Т. 10 (1): 26–30, DOI 10.1112/jlms/s1-10.37.26

[2] G. Kalai. The seventeen camels riddle, and Noga Alon’s camel proof and algorithms (англ.). — 2017. Архивировано 28 августа 2020 года.

[1]

[2]