Теорема о перестановке ряда

Теорема о перестановке ряда:

Перестановка абсолютно сходящегося ряда приводит к сходящемуся ряду с той же суммой.

ДоказательствоПравить

Далее $m_k=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(k)$$m_{k}=\varphi (k)$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:\mathbb{N}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{N}$$\varphi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ — перестановка натурального ряда.

Если ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_k$$\sum a_{k}$  положительный, то

$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{m_k}$$\sum _{k=1}^{n}a_{m_{k}}$ $⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k,$$\leqslant \sum _{{k=1}}^{N}a_{k},$ 

где $N=max\left\{m_1,m_2,...,m_n\right\},$$N=\max \left\{m_{1},m_{2},...,m_{n}\right\},$  и поэтому

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{m_k}$$\sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k}}$ $⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k.$$\leqslant \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.$ 

Следовательно, перестановка ряда не увеличивает суммы, а так как ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_k$$\sum a_{k}$  в свою очередь является перестановкой ряда $\sum <!--\; \sum \; -->a_{m_k}$$\sum a_{m_{k}}$ , то обе суммы совпадают.
Если ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_k$$\sum a_{k}$  знакопеременный, то на основании первой части доказательства

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{m_k}$$\sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k}}$ $=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{m_k}$$=\sum _{k=1}^{\infty }b_{m_{k}}$ $-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_{m_k}$$-\sum _{k=1}^{\infty }c_{m_{k}}$ $=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k.$$=\sum _{{k=1}}^{\infty }b_{k}-\sum _{{k=1}}^{\infty }c_{k}=\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}.$ 

См. такжеПравить

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах — противоположный результат для условно сходящихся рядов.

ЛитератураПравить

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.