Теорема о биссектрисе

Теорема о биссектрисе — классическая теорема геометрии треугольника.

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

ФормулировкаПравить

Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если биссектриса при вершине $A$$A$  треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  пересекает сторону $BC$$BC$  в точке $D$$D$  то

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.$${\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}.$ 

ЗамечанияПравить

• То же равенство выполняется и для точки $D$$D$  лежащей на пересечении внешней биссектрисы и продолжении стороны $BC$$BC$ .

ИсторияПравить

Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III), в частности, на греческом языке в византийском манускрипте. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21).

ДоказательстваПравить

Существует несколько методов доказательства. Например, методом площадей или проведением из другой вершины прямой, параллельной биссектрисе, до ее пересечения с продолжением одной из сторон.

Метод площадейПравить

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины A на сторону BC опущена биссектриса AD. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

 

Метод площадей

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot <!--\; \cdot \; -->AD\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\frac{1}{2}AC\cdot <!--\; \cdot \; -->AD\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{AB}{AC}.$${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\cdot \sin \alpha }{{\frac {1}{2}}AC\cdot AD\cdot \sin \alpha }}={\frac {AB}{AC}}.$ 

С другой стороны,

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD\cdot <!--\; \cdot \; -->AH}{\frac{1}{2}CD\cdot <!--\; \cdot \; -->AH}=\frac{BD}{CD}.$${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AH}{{\frac {1}{2}}CD\cdot AH}}={\frac {BD}{CD}}.$ 

Значит,

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$ 

Через теорему синусовПравить

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Запишем теорему синусов для треугольников ABD и ACD:

 

Доказательство теоремы о биссектрисе с помощью теоремы синусов

$\frac{AB}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}=\frac{BD}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},(1)$${\frac {AB}{\sin \gamma }}={\frac {BD}{\sin \alpha }},\quad (1)$ 

$\frac{AC}{\sin <!--\; \; -->({180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}=\frac{CD}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$${\frac {AC}{\sin(180^{\circ }-\gamma )}}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.$ 

Но $\sin <!--\; \; -->({180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},$$\sin(180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma ,$  следовательно,

$\frac{AC}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}=\frac{CD}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.(2)$${\frac {AC}{\sin \gamma }}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.\quad (2)$ 

Поделив равенство (1) на равенство (2), получим:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$ 

Через подобие треугольниковПравить

Данный способ доказательства основан на продлении биссектрисы до пересечения с ней перпендикуляра, опущенного на нее из одной из вершин.

 

Доказательство теоремы о биссектрисе через подобие треугольников

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Опустим перпендикуляры BK и CT на нее и ее продолжение соответственно. Треугольники KBD и DCT подобны по двум углам, значит,

$\frac{BD}{CD}=\frac{BK}{CT}.$${\frac {BD}{CD}}={\frac {BK}{CT}}.$ 

Треугольники ABK и ACT тоже подобны по двум углам, значит, справедливо равенство:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{CT}.$${\frac {AB}{AC}}={\frac {BK}{CT}}.$ 

Отсюда получаем, что $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$ 

Вариации и обобщенияПравить

• Если D — произвольная точка на стороне BC треугольника ABC, тогда

  $\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAB}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB}}{|AC|\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAC}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADC}}=\frac{|AB|\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAB}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB}}{|AC|\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAC}{\sin <!--\; \; -->({180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB))}}=\frac{|AB|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAB}{|AC|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAC}.$${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC|{\frac {\sin \angle DAC}{\sin \angle ADC}}}}={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC|{\frac {\sin \angle DAC}{\sin(180^{\circ }-\angle ADB))}}}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.$ 

  • В случае, когда AD — биссектриса, $\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAB=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAC$$\sin \angle DAB=\sin \angle DAC$ .

• Биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла.

• Теорема Штейнера.

См. такжеПравить

• Антибиссектриса
• Биссектриса
• Высота (геометрия)
• Высота треугольника
• Инцентр
• Медиана треугольника
• Симедиана
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Треугольник
• Треугольник трёх внешних биссектрис
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Центроид
• Чевиана

ЛитератураПравить

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 18-19.