Метод площадей

Метод площадей — метод решения геометрических тождеств путём подсчёта площадей фигур разными способами.

Схема доказательства теоремы Пифагора.

Методом площадей также доказываются теорема Пифагора, теорема о биссектрисе, теорема Чевы и многие другие.

Пример: Доказательство Евклида теоремы ПифагораПравить

 

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ACK\cong <!--\; \cong \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABD$$\triangle ACK\cong \triangle ABD$ , площадь которых составляет половину площади прямоугольников $AHJK$$AHJK$  и $ACED$$ACED$  соответственно.

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла, с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства, следующая: для прямоугольного треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  с прямым углом $C$$C$ , квадратов над катетами $ACED$$ACED$  и $BCFG$$BCFG$  и квадрата над гипотенузой $ABIK$$ABIK$  строится высота $CH$$CH$  и продолжающий её луч $s$$s$ , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника — $AHJK$$AHJK$  и $BHJI$$BHJI$ . Доказательство нацелено на установление равенства между площадями прямоугольника $AHJK$$AHJK$  и квадрата над катетом $AC$$AC$ ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника $AHJK$$AHJK$  и $ACED$$ACED$  устанавливается через конгруэнтность треугольников $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ACK$$\triangle ACK$  и $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABD$$\triangle ABD$ , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов $AHJK$$AHJK$  и $ACED$$ACED$  соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при $A$$A$ ).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составленного из прямоугольников $AHJK$$AHJK$  и $BHJI$$BHJI$ , равна сумме площадей квадратов над катетами.

ЛитератураПравить

• 9.3 в И.Ф. Шарыгин. Геометрия 7—9,. — М.: Дрофа, 1997. — 352 с.