Теорема об инвариантности области

Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.

ИсторияПравить

Теорема доказана Брауэром. Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке. Существует вариант доказательства, основанный на лемме Шпернера.

ФормулировкаПравить

Пусть $U$$U$  — открытое подмножество в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , и $f:<!--\; :\; -->U\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$  — инъективное непрерывное отображение. Тогда образ  $B=f(U)$$B=f(U)$  является открытым подмножеством в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , и $f$$f$  задаёт гомеоморфизм между $U$$U$  и $B$$B$ .

 

Образ инъективного непрерывного отображения открытого интервала в плоскость, негомеоморфное исходному интервалу.

ЗамечанияПравить

• Заключение теоремы можно сформулировать так:
  • $f$$f$  является открытым отображением.
• Как видно на картинке, утверждение теоремы неверно для отображений между евклидовыми пространствами разной размерности.
• Также теорема неверна в бесконечномерном случае. Например, отображение правого сдвига

  $(x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(0,x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->)$$(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$ 

гильбертова пространства в себя является непрерывным и инъективным, но не является открытым.

СледствияПравить

• Из теоремы немедленно следует, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны.
• С помощью теоремы доказываются многие теоремы существования для выпуклых многогранников, в том числе существование выпуклого многогранника с данной развёрткой.

Вариации и обобщенияПравить

• Теорема об инвариантности области допускает прямое обобщение на отображения между многообразиями равной размерности.
• Существуют также обобщения некоторых видов непрерывных отображений из Банахова пространства в себя.