Гипотеза Бибербаха

Гипотеза Бибербаха — доказанное предположение, высказанное в 1916 году немецким учёным Л. Бибербахом относительно верхней границы коэффициентов разложения однолистных функций в ряд Тейлора.

Обозначим $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ — открытый единичный круг комплексной плоскости: $\Delta =\{z:|z|<1\}$.

$S$$S$ — множество всех аналитических и однолистных в $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ функций $f(z)$$f(z)$, имеющих разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля вида:

$f(z)=z+\underset{n=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n{z}^n.$$f(z)=z+\sum _{{n=2}}^{{\infty }}c_{n}z^{n}.$

По гипотезе коэффициенты $|c_n|⩽<!--\; ⩽\; -->n$$|c_{n}|\leqslant n$, причём $c_n=n$$c_{n}=n$ только для функций Кёбе вида

$k_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}(z)=\frac{z}{(1-<!--\; -\; -->z{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{)}^2}.$$k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{{i\theta }})^{2}}}.$

История доказательства гипотезыПравить

• 1916 год — высказана гипотеза. Бибербахом доказана справедливость гипотезы при $n=2$$n=2$ .
• 1923 год — доказана гипотеза для $n=3$$n=3$ . Автор доказательства — Чарльз Лёвнер  (англ.) (рус., для доказательства был создан параметрический метод Лёвнера.
• 1955 год — доказательство для $n=4$$n=4$ . Авторы — Гарабедян  (англ.) (рус., Шиффер  (англ.) (рус.. Метод, использованный при доказательстве, был назван методом Шиффера.
• 1968, 1969 годы — две независимые работы с доказательством гипотезы для $n=6$$n=6$  — Роджер Педерсон (Roger N. Pederson), Мицуру Одзава (Mitsuru Ozawa).
• 1972 год — доказана гипотеза для $n=5$$n=5$  — Педерсон, Шиффер.

---

• 1925 год — Литлвуд доказывает, что $|c_n|⩽<!--\; ⩽\; -->e\cdot <!--\; \cdot \; -->n$$|c_{n}|\leqslant e\cdot n$  для любого $n$$n$ .
• 1951 год — Базилевич, Милин Исаак Моисеевич: доказано соотношение $|c_n|⩽<!--\; ⩽\; -->e/2\cdot <!--\; \cdot \; -->n+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$|c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+{\mathrm {const}}$ .
• 1965 год — Милин: $|c_n|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{1,243}\cdot <!--\; \cdot \; -->n$$|c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n$ .
• 1971 год — Милин: высказывает предположение, что сконструированная им последовательность логарифмических функционалов ( функционалы Милина) неположительна для любой функции из класса S и отмечает, что это свойство влечет доказательство гипотезы Бибербаха.
• 1972 год — Карл Фитцджеральд (Carl FitzGerald): $|c_n|⩽<!--\; ⩽\; -->\sqrt{7/6}n$$|c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n$ .
• 1984 год — доказательство верности гипотезы Бибербаха, автор — Луи де Бранж.

СсылкиПравить

• Koepf W. Bieberbach’s conjecture, the de Branges and Weinstein functions and the Askey-Gasper inequality // The Ramanujan Journal, June 2007, Volume 13, Issue 1–3, pp 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2