Теорема Шура о постоянной кривизне

Теорема Шура — даёт поточечное условие на риманову метрику, гарантирующее постоянство её кривизны. Доказана Фридрихом Шуром в 1886 году.

ФормулировкаПравить

Пусть $M$$M$  — связное (возможно не полное) риманово многообразие размерности $\ge <!--\; \ge \; -->3$$\geq 3$ . Если секционная кривизна $K_{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_p}$$K_{\sigma _{p}}$ , где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_p$$\sigma _{p}$  есть плоскость в $T_p(M)$$T_{p}(M)$ , зависит только от $p$$p$ , то $M$$M$  есть пространство постоянной кривизны.

ЛитератураПравить

• с. 192, Ш. Кобаяси, К. Номидзу, Основы Дифференциальной геометрии (недоступная ссылка)
• Schur F. Über den Zusammenhang der Räume konstanter Krümmungsmasses mit den projektiven Räuraen (недоступная ссылка), Mathematische Annalen, 1886. 27, S. 537—567.