Теорема Шварца о второй производной

Теорема Шварца о второй производной устанавливает достаточные условия линейности функции. Используется в теории тригонометрических рядов.

Формулировка Править

Если функция $F(x)$$F(x)$  непрерывна в некотором интервале $(a,b)$$(a, b)$  и $\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{F(x+h)+F(x-<!--\; -\; -->h)-<!--\; -\; -->2F(x)}{h^2}=0$$\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) + F(x-h) - 2F(x)}{h^{2}} = 0$  при всех значениях $x$$x$  в этом интервале, то $F(x)$$F(x)$  есть линейная функция.

Доказательство Править

Выражение, стоящее слева в условии теоремы, называется обобщенной второй производной функции $F(x)$$F(x)$ . Если $F(x)$$F(x)$  имеет обыкновенную вторую производную, то обобщенная вторая производная равна ей и доказывать нечего. Рассмотрим функцию $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)=F(x)-<!--\; -\; -->F(a)-<!--\; -\; -->\frac{x-<!--\; -\; -->a}{b-<!--\; -\; -->a}(F(b)-<!--\; -\; -->F(a))$$\phi(x)=F(x)-F(a)-\frac{x-a}{b-a}(F(b)-F(a))$ . Очевидно, $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(a)=0$$\phi(a)=0$  и $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(b)=0$$\phi(b)=0$ . Для доказательства теоремы покажем, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)=0$$\phi(x)=0$  при всех значениях $x$$x$ . Предположим, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi(x)$  принимает положительные значения. Пусть $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(c)>0$$\phi(c) > 0$  в некоторой точке $c$$c$ . Введем функцию $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(x-<!--\; -\; -->a)(b-<!--\; -\; -->x)$$\psi(x) = \phi(x) - \frac{1}{2}\epsilon(x-a)(b-x)$ , где $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\epsilon$  - малое положительное число, такое, что $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)>0$$\psi(x) > 0$ . Функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$  имеет положительную верхнюю грань и достигает её, в силу своей непрерывности, в некоторой точке $x=\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$x = \xi$ . Очевидно $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+h)+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->h)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})⩽<!--\; ⩽\; -->0$$\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi) \leqslant 0$ . Но $\frac{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+h)+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->h)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{h^2}=\frac{F(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+h)+F(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->h)-<!--\; -\; -->2F(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{h^2}+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\frac{\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi)}{h^2} = \frac{F(\xi + h) + F(\xi - h) - 2 F(\xi)}{h^2} + \epsilon$  и при $h\to <!--\; \to \; -->0$$h \rightarrow 0$  правая часть стремится к $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\epsilon$ . Получено противоречие. К подобному же противоречию приводит предположение, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi(x)$  принимает отрицательные значения. Следовательно, $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)=0$$\phi(x) = 0$  при всех значениях $x$$x$  и $F(x)$$F(x)$  есть линейная функция.

Литература Править

• Е. Титчмарш Теория функций, М., Наука, 1980.