Теорема Фробениуса — Перрона

Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами. Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем; в экономике; в демографии; в социальных сетях; в поисковых системах.

Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912). Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау.

ФормулировкаПравить

Пусть $A$$A$  — квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:

• наибольшее по модулю собственное значение $r$$r$  является вещественным и строго положительным;
• это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена;
• соответствующий $r$$r$  собственной вектор имеет (точнее говоря, может быть выбран таким образом, чтобы иметь) строго положительные координаты, все остальные собственные векторы таким свойством не обладают;
• собственное значение $r$$r$  удовлетворяет неравенствам

$\underset{i}{min}\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{ij}⩽<!--\; ⩽\; -->r⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{i}{max}\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{ij}.$$\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.$ 

См. такжеПравить

• Оператор Перрона — Фробениуса

ЛитератураПравить

• Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices, Mathematische Annalen Т. 64 (2): 248–263, DOI 10.1007/BF01449896 
• Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 456–477 
• Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 471–476 
• Frobenius, Georg (1909), Über Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 514–518 
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.