Теорема Слешинского — Прингсхайма

Теорема Слешинского — Прингсхайма — один из признаков сходимости обобщённых цепных дробей.

ИсторияПравить

Теорема была доказана в конце 19-го века независимо Иваном Слешинским и Альфредом Прингсхаймом.

ФормулировкаПравить

Предположим, $a_n$$a_n$  и $b_n$$b_n$  — последовательности вещественных чисел такие, что $|b_n|⩾<!--\; ⩾\; -->|a_n|+1$$|b_{n}|\geqslant |a_{n}|+1$  для любого $n$$n$ . Тогда цепная дробь

$\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\frac{a_3}{b_3+\ddots <!--\; \ddots \; -->}}}$${\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$ 

сходится абсолютно к некоторому вещественному числу в интервале $[0,1]$$[0,1]$ .