Теорема Ролля

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ и дифференцируемая на интервале $(a,b)$$(a, b)$, принимает на концах отрезка $[a,b]$$[a,b]$ одинаковые значения, то на интервале $(a,b)$$(a, b)$ найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

ДоказательствоПравить

 

Геометрический смысл теоремы Ролля

 

Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на $[a,b]$$[a,b]$ , то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический и физический (механический) смыслПравить

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что тело, вернувшееся в исходную точку, в некоторый момент в ходе своего движения имело нулевую скорость.

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримерыПравить

Все условия теоремы: непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка - существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

СледствияПравить

1° Если дифференцируемая функция обращается в нуль в $n$$n$  различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  различных точках, причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

2° Если все корни многочлена $n$$n$ -ой степени действительные, то и корни всех его производных до $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  включительно — также исключительно действительные.

3° (Теорема Лагранжа) Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

См. такжеПравить

• Обобщённая теорема Ролля
• Формула конечных приращений
• Теорема Коши о среднем значении

ЛитератураПравить

• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.