Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши́ о среднем значении — обобщение формулы конечных приращений.

ФормулировкаПравить

Пусть даны две функции $f(x)$$f(x)$  и $g(x)$$g(x)$  такие, что:

1. $f(x)$$f(x)$  и $g(x)$$g(x)$  определены и непрерывны на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ ;
2. производные $f^{\prime }(x)$$f'(x)$  и $g^{\prime }(x)$$g'(x)$  определены и конечны на интервале $(a,b)$$(a, b)$ ;
3. производная $g^{\prime }(x)$$g'(x)$  не обращается в нуль на интервале $(a,b)$$(a, b)$  (значит, по теореме Ролля, $g(a)\ne <!--\; \ne \; -->g(b)$$g(a)\neq g(b)$ ).

Тогда существует $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->(a,b)$$\xi \in (a,b)$ , для которой верно:

$\frac{f(b)-<!--\; -\; -->f(a)}{g(b)-<!--\; -\; -->g(a)}=\frac{f^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{g^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}.$${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}.$ 

ЗамечанияПравить

• Потребовав явно, что $g(a)\ne <!--\; \ne \; -->g(b)$$g(a)\neq g(b)$ , можно ослабить условие 3 и требовать лишь чтобы $f^{\prime }(x)$$f'(x)$  и $g^{\prime }(x)$$g'(x)$  не обращались одновременно в нуль на интервале $(a,b)$$(a, b)$ .
• Можно полностью опустить условие 3, если переписать формулу следующим образом:

  $(f(b)-<!--\; -\; -->f(a))\cdot <!--\; \cdot \; -->g^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=(g(b)-<!--\; -\; -->g(a))\cdot <!--\; \cdot \; -->f^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$${\big (}f(b)-f(a){\big )}\cdot g'(\xi )={\big (}g(b)-g(a){\big )}\cdot f'(\xi )$ .

• Геометрически утверждение можно переформулировать так: если $f$$f$  и $g$$g$  задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр $x$$x$ ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами $a$$a$  и $b$$b$ , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от $(f(a),g(a))$${\big (}f(a),g(a){\big )}$  до $(f(b),g(b))$${\big (}f(b),g(b){\big )}$ .

ДоказательствоПравить

Для доказательства введём функцию

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=(f(b)-<!--\; -\; -->f(a))(g(x)-<!--\; -\; -->g(a))-<!--\; -\; -->(g(b)-<!--\; -\; -->g(a))(f(x)-<!--\; -\; -->f(a)).$$\varphi (x)={\big (}f(b)-f(a){\big )}{\big (}g(x)-g(a){\big )}-{\big (}g(b)-g(a){\big )}{\big (}f(x)-f(a){\big )}.$

Легко видеть, что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->(a,b)$$\xi \in (a,b)$ , в которой производная функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  равна нулю:

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=(f(b)-<!--\; -\; -->f(a))g^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})-<!--\; -\; -->(g(b)-<!--\; -\; -->g(a))f^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0.$$\varphi '(\xi )={\big (}f(b)-f(a){\big )}g'(\xi )-{\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(\xi )=0.$

Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.

В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на $g^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$g'(\xi )$  и $g(b)-<!--\; -\; -->g(a)$$g(b)-g(a)$ . Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей у $f^{\prime }(x)$$f'(x)$  и $g^{\prime }(x)$$g'(x)$ : для $g(b)-<!--\; -\; -->g(a)$$g(b)-g(a)$  это требуется явно, а если $g^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0$$g'(\xi )=0$ , то

$(g(b)-<!--\; -\; -->g(a))f^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0$${\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(\xi )=0$ .

Но, так как $g(a)\ne <!--\; \ne \; -->g(b)$$g(a)\neq g(b)$ , отсюда следует, что $f^{\prime }(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0$$f'(\xi )=0$  — противоречие с условием.

ЛитератураПравить

• Теорема Коши о среднем значении в Encyclopedia of Mathematics