Теорема Решетняка о мажоризации

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Доказана Юрием Григорьевичем Решетняком в 1960, в той же статье он доказал теорему о склеивании.

Формулировка править

Пусть $X$$X$  — CAT(κ) пространство и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}:<!--\; :\; -->{\mathbb{S}}^1\to <!--\; \to \; -->X$$\gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to X$  замкнутая спрямляемая кривая. В слуачае если $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}>0$$\kappa >0$ , предположим дополнительно, что $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  короче чем $\frac{2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}$${\tfrac {2\cdot \pi }{\sqrt {\kappa }}}$ . Тогда найдётся выпуклая фигура $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  в $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$ -плоскости сравнения с периметром равным длине $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  и короткое отображение $s:\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\to <!--\; \to \; -->X$$s:\Phi \to X$  такое, сужение $s{|}_{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$$s|_{\partial \Phi }$  совпадает с $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .

Замечания править

• Отображение $s:\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\to <!--\; \to \; -->X$$s:\Phi \to X$  в формулировке называется мажоризацией $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .
• Выпуклая фигура $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  называется мажоризатором $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .

Следствия править

• Любая замкнутая геодезическая в CAT(1) пространстве имеет длину не меньше $2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\cdot \pi$ .

Литература править

• Ю. Г. Решетняк. К теории пространств кривизны, не большей K // Матем. сб.. — 1960. — Т. 52(94), № 3. — С. 789—798.