Теорема Пикара (интегральные уравнения)

Теорема Пикара (интегральные уравнения) - теорема существования и единственности решения для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с замкнутым симметричным ядром $K(t,s)$$K(t,s)$ вида $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds=f(t)$$\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$, где $f(t)\in <!--\; \in \; -->L_2[a,b]$$f(t)\in L_{{2}}[a,b]$ имеет единственное решение в классе функций $L_2[a,b]$$L_{{2}}[a,b]$ тогда и только тогда, когда ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k^2{f}_k^2$$\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$ сходится.

ПоясненияПравить

В формулировке теоремы ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k$$\lambda _{{k}}$  - характеристические числа ядра $K(t,s)$$K(t,s)$ , $f_k=(f,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_k)$$f_{k}=(f,\phi _{{k}})$  - коэффициенты Фурье функции $f(t)$$f(t)$  относительно собственных функций ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)$$\phi _{n}(t)$  этого ядра: ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(s)ds$$\phi _{{n}}(t)=\lambda _{{n}}\int \limits _{{a}}^{{b}}K(t,s)\phi _{{n}}(s)ds$ . Симметричное ядро $K(t,s)$$K(t,s)$  называется замкнутым в $L_2[a,b]$$L_{{2}}[a,b]$ , если каждая функция $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(t)\in <!--\; \in \; -->L_2[a,b]$$\sigma (t)\in L_{{2}}[a,b]$ , удовлетворяющая равенству $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(s)ds=0$$\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$  равна нулю почти всюду на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ . Для замкнутого ядра его собственные функции образуют ортогональную полную в $L_2[a,b]$$L_{{2}}[a,b]$  систему функций.

ДоказательствоПравить

Предположим, что существует решение $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)\in <!--\; \in \; -->L_2[a,b]$$\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$  уравнения $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds=f(t)$$\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ .

Найдем коэффициенты Фурье функции $f(t)$$f(t)$  относительно собственных функций ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)$$\phi _{n}(t)$  этого ядра: $f_n=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left\{\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds\right\}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left\{\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)dt\right\}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds=\frac{1}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds$$f_{{n}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(t)\phi _{{n}}(t)dt=\int \limits _{{a}}^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{{n}}(t)dt=\int \limits _{{a}}^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ .

Здесь во втором равенстве использовано, что в силу условия теоремы $f(t)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds$$f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ , в четвёртом равенстве, что, в силу симметричности ядра $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)dt=\frac{1}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(s)$$\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{{n}}(s)$ .

Равенство $f_n=\frac{1}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds$$f_{{n}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$  может быть переписано в виде ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{f}_n=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds$$\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ . Отсюда следует, что числа ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{f}_n$$\lambda _{{n}}f_{{n}}$  являются коэффициентами Фурье функции $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)\in <!--\; \in \; -->L_2[a,b]$$\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ . В силу известной теоремы математического анализа, ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k^2{f}_k^2$$\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$  из квадратов этих коэффициентов является сходящимся.

Предположим, наоборот, что ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_k^2{f}_k^2$$\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$  сходится. Тогда в силу теоремы Рисса-Фишера существует единственная функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)\in <!--\; \in \; -->L_2[a,b]$$\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ , для которой числа ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{f}_n$$\lambda _{{n}}f_{{n}}$  являются коэффициентами Фурье по системе функций $\mathcal{f}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)\mathcal{g}$${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ , то есть выполняются равенства ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{f}_n=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds$$\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$  для всех $n(n=1,2,...)$$n(n=1,2,...)$ . Эта функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$\phi (t)$  удовлетворяет интегральному уравнению $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds=f(t)$$\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ , так как в силу самого построения $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$\phi (t)$  функции $f(t)$$f(t)$  и $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds$$\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$  имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной системы $\mathcal{f}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(t)\mathcal{g}$${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$  собственных функций ядра $K(t,s)$$K(t,s)$ . Таким образом, функции $f(t)$$f(t)$  и $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(t,s)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s)ds$$\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$  тождественны в метрике $L_2[a,b]$$L_{{2}}[a,b]$ .

ЛитератураПравить

• Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.