Теорема Риса — Фишера

Теорема Риса — Фишера — утверждение функционального анализа об изометричности и изоморфности пространства Лебега $L_2\left(a,b\right)$$L_{{2}}\left(a,b\right)$ и пространства Гильберта $l_2$$l_{{2}}$.

Доказана в 1907 году независимо Фридьешем Рисом и Эрнстом Фишером (нем. Ernst Sigismund Fischer).

ДоказательствоПравить

Возьмём в пространстве $L_2\left(a,b\right)$$L_{{2}}\left(a,b\right)$  какую-нибудь полную ортонормальную систему $\left\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)\right\}$$\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ . Тогда для любого $x(t)\in <!--\; \in \; -->L_2\left(a,b\right)$$x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$  имеем $x(t)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t),{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=\left(x,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i\right)$$x(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t),\xi _{{i}}=\left(x,\varphi _{{i}}\right)$ , причем в силу равенства Парсеваля $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}^{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ . Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции $x(t)\in <!--\; \in \; -->L_2\left(a,b\right)$$x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$  можно рассматривать как элемент $x\in <!--\; \in \; -->l_2$$x\in l_{{2}}$  гильбертова пространства $l_2$$l_{{2}}$  $x=\left\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2,...,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n,...\right\}$$x=\left\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\right\}$ . При этом соответствие $x(t)\to <!--\; \to \; -->x$$x(t)\rightarrow x$  однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}=\left\{{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_1,{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_2,...,{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n,...\right\}$${\bar {y}}=\left\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\right\}$  гильбертова пространства $l_2$$l_{{2}}$ . Рассмотрим в $L_2\left(a,b\right)$$L_{{2}}\left(a,b\right)$  формально ряд $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)$$\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ , где $\left\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)\right\}$$\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$  — та же самая полная ортонормальная система. Последовательность $s_n(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)$$s_{{n}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{n}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$  частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо ${\Vert s_{n+p}-<!--\; -\; -->s_n\Vert }^2={\Vert \underset{i=n+1}{\overset{n+p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)\Vert }^2=\underset{i=n+1}{\overset{n+p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i^2\to <!--\; \to \; -->0$$\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=n+1}}^{{n+p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=n+1}}^{{n+p}}\eta _{{i}}^{{2}}\rightarrow 0$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n \rightarrow \infty$  и $p>0$$p>0$  в силу сходимости ряда $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i^2$$\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}^{{2}}$ . Так как пространство $L_2\left(a,b\right)$$L_{{2}}\left(a,b\right)$  полное, это значит, что ряд $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)$$\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$  сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i$$\eta _{{i}}$  и эту сумму $y(t)\in <!--\; \in \; -->L_2\left(a,b\right)$$y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$  ставим в соответствие элементу $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}$${\bar {y}}$ . Опять соответствие $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}\to <!--\; \to \; -->y(t)$${\bar {y}}\rightarrow y(t)$  однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства $L_2\left(a,b\right)$$L_{{2}}\left(a,b\right)$  и $l_2$$l_{{2}}$ . Так как, очевидно $x(t)+y(t)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i+{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i\right){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)$$x(t)+y(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)+\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)$  и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x(t)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)$$\lambda x(t)=\lambda \sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ , то из $x(t)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->x,y(t)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->y$$x(t)\leftrightarrow x,y(t)\leftrightarrow y$  следует $x(t)+y(t)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->x+y,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x(t)\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x$$x(t)+y(t)\leftrightarrow x+y,\lambda x(t)\leftrightarrow \lambda x$ , то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов $x(t),y(t)\in <!--\; \in \; -->L_2\left(a,b\right)$$x(t),y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$  имеем в силу равенства Парсеваля ${\Vert x(t)-<!--\; -\; -->y(t)\Vert }^2={\Vert \underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i\right){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(t)\Vert }^2=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i-<!--\; -\; -->{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_i\right)}^2={\Vert x-<!--\; -\; -->y\Vert }^2$$\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)^{{2}}=\left\|x-y\right\|^{{2}}$  и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть $L_2\left(a,b\right)$$L_{{2}}\left(a,b\right)$  и $l_2$$l_{{2}}$  изометричны.

ЛитератураПравить

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.