Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ с базой $B$$B$ классы Понтрягина обозначаются символом $p_i(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\in <!--\; \in \; -->H^{4i}(B)$$p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)$ и полагаются равными

$p_i(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=(-<!--\; -\; -->1{)}^i{c}_{2i}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{C})$$p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )$,

где $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{C}$$\xi \otimes \mathbb {C}$ — комплексификация расслоения $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$, a $c_i$$c_{i}$ — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

$p(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=1+p_1(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})+p_2(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})+\dots <!--\; \dots \; -->$$p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots$.

Если $B$$B$ — гладкое многообразие и расслоение $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ явно не указывается, то предполагается что $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ есть касательное расслоение $B$$B$.

СвойстваПравить

• Через классы Понтрягина выражаются L-класс Хирцебруха и $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}$${\hat {A}}$ -класс.
• Если $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ , $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$  — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
      $p(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})-<!--\; -\; -->p(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})p(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$  имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
        $p(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})=p(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})p(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$ .
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2k-мерного расслоения $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  справедливо равенство
      $p_k(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=e(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{)}^2,$$p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$ 
  где $e(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$e(\xi )$  обозначает класс Эйлера^[en].

ЛитератураПравить

• Понтрягин Л. С.  «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков С. П.  «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Милнор Дж., Сташеф Дж. . Характеристические классы = Characteristic classes. — М.: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 экз.