Теорема Кэмпбелла

Теорема Кэмпбелла - описывает свойства выходного сигнала линейной системы, входным сигналом которой является хаотическая последовательность одинаковых импульсов.

ФормулировкаПравить

Предположим, что на вход линейной системы достаточно долго, до установления равновесного состояния, подаётся хаотическая последовательность одинаковых импульсов со средней частотой следования $N$$N$  импульсов в секунду. Каждый импульс, приходящий в момент $t=0$$t=0$ , вызывает выходной сигнал системы $f(t)$$f(t)$ . Тогда $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=N\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt$$\langle \theta \rangle =N\int \limits _{0}^{\infty }f(t)dt$  и $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2⟩<!--\; ⟩\; -->\equiv <!--\; \equiv \; -->⟨(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->{)}^2⟩=N\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^2(t)dt$$\langle \delta \theta ^{2}\rangle \equiv \left\langle (\theta -\langle \theta \rangle )^{2}\right\rangle =N\int \limits _{0}^{\infty }f^{2}(t)dt$ . Здесь угловые скобки $⟨<!--\; ⟨\; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \ \rangle$  означают осреднение по ансамблю.

Пример примененияПравить

Предположим, что на $RC$$RC$ -цепочку в случайном порядке подаются электроны, например с лампового диода. Вычислим флуктуации напряжения. Одиночный электрон, пролетающий в момент $t=0$$t=0$ , вызывает переменное напряжение $f(t)=\frac{e}{C}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{t}{RC}\right)$$f(t)={\frac {e}{C}}\exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)$ . Следовательно $⟨<!--\; ⟨\; -->V⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{Ne}{C}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{t}{RC}\right)dt=NeR=JR$$\langle V\rangle ={\frac {Ne}{C}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)dt=NeR=JR$ , где $J$$J$  — средний ток. Для дисперсии напряжения флуктуаций получаем $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{V}^2⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨(V-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->V⟩<!--\; ⟩\; -->{)}^2⟩=\frac{N{e}^2}{C^2}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{2t}{RC}\right)dt=\frac{JeR}{2C}$$\langle \delta V^{2}\rangle =\left\langle (V-\langle V\rangle )^{2}\right\rangle ={\frac {Ne^{2}}{C^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {2t}{RC}}\right)dt={\frac {JeR}{2C}}$ . Первые оценки величины заряда электрона были получены именно измерением «дробового шума».

ЛитератураПравить

• Д. Мак-Доналд Введение в физику шумов и флуктуаций, М., Мир, 1964