Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Теорема Крейна — Мильмана — Википедия

Теорема Крейна — Мильмана

Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Доказана Марком Крейном и Давидом Мильманом в 1940 году^[1].

Extreme points.svg

ФормулировкаПравить

Выпуклый компакт $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ в локально выпуклом пространстве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L$ совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $E(K)$ .

ЗамечанияПравить

Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.

Существуют топологические векторные пространства, содержащие выпуклые компакты без крайник точек^[2].

Утверждение аналогичное теореме Крейна — Мильмана не выполняется в пространствах Адамара со слабой топологией.^[3]

ПриложенияПравить

Теорема применяется для доказательств неизоморфности различных банаховых пространств.
Применена де Бранжем в изящном варианте доказательства теоремы Стоуна — Вейерштрасса.

ПримечанияПравить

↑ M. Krein, D. Milman, On extreme points of regular convex sets, Studia Mathematica 9 (1940), 133—138.
↑ Roberts, James W. «A compact convex set with no extreme points.» Studia Mathematica 60.3 (1977): 255—266.
↑ Monod, Nicolas, Extreme points in non-positive curvature, arΧiv:1602.06752.

ЛитератураПравить

Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. — 1988.

Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Крейна_—_Мильмана&oldid=112010550