Теорема Коши — Пуанкаре

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

ФормулировкаПравить

Пусть $M$$M$  — комплексное многообразие (комплексной) размерности $n$$n$  и $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — голоморфная форма степени $n$$n$  на этом многообразии. Тогда интеграл от $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  по границе любой $(n+1)$$(n+1)$  — мерной цепи $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->M$$\sigma \subset M$  равен нулю: $\underset{d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0$$\int \limits _{d\sigma }\omega =0$ 

ДоказательствоПравить

В локальных координатах $(z,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})$$(z,{\bar {z}})$ , действующих в окрестности $U\subset <!--\; \subset \; -->M$$U\subset M$ , голоморфная форма имеет вид: $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=f(z)d{z}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->...\wedge <!--\; \wedge \; -->d{z}_n$$\omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}$ , где $f$$f$  — голоморфная в $U$$U$  функция. В силу голоморфности $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}f=0$${\bar {\partial }}f=0$  и, значит $df=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f=\underset{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}d{z}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu }}}dz_{\mu }$ ; по свойствам внешнего произведения получаем, следовательно, что $d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=df\wedge <!--\; \wedge \; -->d{z}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->...\wedge <!--\; \wedge \; -->d{z}_n=0$$d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0$ , то есть что форма $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  замкнута. В силу формулы Стокса, интеграл от замкнутой формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0)$$\omega (d\omega =0)$  по границе $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{{}^{\prime }}$$\sigma =\partial \sigma ^{'}$  равен нулю: $\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\underset{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{{}^{\prime }}}{\int <!--\; \int \; -->}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0$$\int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0$ . Поэтому мы заключаем, что интеграл $\underset{d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0$$\int \limits _{d\sigma }\omega =0$  равен нулю.

ЛитератураПравить

• Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных, М., Наука, 1985