Теорема Клеро

Слово «Клеро» имеет и другие значения.

Теоре́ма Клеро́ — закон, описывающий зависимость между параметрами сфероида, силой тяжести на его поверхности и коэффициентами разложения гравитационного потенциала. Опубликован в 1743 году французским математиком А. Клеро в работе фр. Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique («Теория формы Земли, извлечённая из принципов гидростатики»), где Клеро привёл физические и геодезические доказательства того, что Земля имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения. Выведенная Клеро закономерность позволяла рассчитать параметры земного эллипсоида на основе измерений силы тяжести на разных широтах.

Рисунок 1: Эллипсоид вращения

Рисунок 2: Каркас эллипсоида (сплюснутый сфероид)

Формула Клеро для ускорения силы тяжести g на поверхности Земли на широте $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ выглядит следующим образом:

$g=G\left[1+\left(\frac{5}{2}m-<!--\; -\; -->f\right){\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right],$$g=G\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi \right]\ ,$

где G — значение ускорения силы тяжести на экваторе, m — отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе и f — величина сплюснутости земного эллипсоида, определяемая как:

$f=\frac{a-<!--\; -\; -->b}{a},$$f={\frac {a-b}{a}}\ ,$

(где a — большая полуось, b — малая полуось Земли соответственно).

Вышеприведённую формулу Клеро рассматривал как справедливую при условии, что рассматривается гидростатически равновесная модель, где массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев. Впоследствии Пьер Лаплас смягчил исходное предположение, предположив, что поверхности равной плотности являются сфероидами. Дж. Стокс в 1849 году показал, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известны также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения, то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве.

Реальная форма Земли является результатом взаимодействия между силой тяготения и центробежной силой, вызванной вращением Земли вокруг своей оси. В своих «Началах» Исаак Ньютон предложил считать Землю эллипсоидом вращения с коэффициентом сплюснутости f, равным 1/230. Применяя теорему Клеро, Лаплас на основе 15 измерений величины силы тяжести получил оценку: F = 1/330. Современная оценка этой величины: 1/298,25642.

Уравнение СомильяныПравить

Вышеприведённая формула Клеро для расчёта величины земного тяготения впоследствии была заменена более точным уравнением Сомильяны (выведено итальянским математиком Карло Сомильяной  (англ.) (рус.):

$g=G\left[\frac{1+k{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->e^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}\right],$$g=G\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\right]\ ,$ 

где для Земли: G = 9,7803267714 м/с²; k = 0,00193185138639 ; e = 0,00669437999013.

См. такжеПравить

• Фигура Земли
• Референц-эллипсоид