Теорема Деррика

Теорема Деррика — это фундаментальная теорема, которая гласит, что солитонные решения нелинейных волновых уравнений или уравнения Клейн-Гордона в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

ФормулировкаПравить

В работе 1964 г. Г. Деррик проанализировал устойчивость локализованных стационарных решений в различных вариантах теории поля. Он показал, что решения нелинейных волновых уравнений в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

Теорема Деррика формулируется следующим образом: Пусть ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_a$$\phi _{a}$  скалярное поле и $L$$L$  - плотность лагранжиана этого скалярного поля, а плотность энергии $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_4+{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_2+{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0$$\epsilon =\epsilon _{4}+\epsilon _{2}+\epsilon _{0}$  где:

${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0=g(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})$$\epsilon _{0}=g(\Phi )$ 

${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_2=||{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}|{|}^2$$\epsilon _{2}=||\partial _{j}\Phi ||^{2}$ 

${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_4=f(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}){\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^a{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^b{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_l{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^c{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_m{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^d{M}_{abcd}^{jklm}(\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})$$\epsilon _{4}=f(\Phi )\partial _{j}\phi ^{a}\partial _{k}\phi ^{b}\partial _{l}\phi ^{c}\partial _{m}\phi ^{d}M_{abcd}^{jklm}(\Phi )$ 

Здесь $g$$g$  и $M$$M$  такие гладкие отображения $P\to <!--\; \to \; -->C$$P\to C$ , что соответствующие интегралы $E_2,E_4,E_0$$E_{2},E_{4},E_{0}$  конечны и положительны. Тогда плотность Лагранжиана не имеет стационарных локализованных стабильных решений, если

$(2-<!--\; -\; -->D)E_2+(4-<!--\; -\; -->D)E_4-<!--\; -\; -->D{E}_0\ne <!--\; \ne \; -->0$$(2-D)E_{2}+(4-D)E_{4}-DE_{0}\neq 0$ 

Это приводит к уравнению, которое называется вириальной теоремой для солитонов

$\left(\frac{d}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{E}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right){|}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1}=(2-<!--\; -\; -->D)E_2+(4-<!--\; -\; -->D)E_4-<!--\; -\; -->D{E}_0=0$$\left({\frac {d}{d\lambda }}E_{\lambda }\right){\Bigl |}_{\lambda =1}=(2-D)E_{2}+(4-D)E_{4}-DE_{0}=0$