Теорема Гильберта о нулях

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

ФормулировкаПравить

Пусть $k$$k$  — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), $K$$K$  — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим $K[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$  — кольцо многочленов от $n$$n$  переменных с коэффициентами в поле $K$$K$ , пусть $I$$I$  — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество $\text{V}(I)$${\hbox{V}}(I)$ , определяемое этим идеалом, состоит из всех точек $x=(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\in <!--\; \in \; -->K^n$$x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$  таких, что $f(x)=0$$f(x)=0$  для любого $f\in <!--\; \in \; -->I$$f\in I$ . Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен $p\in <!--\; \in \; -->k[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$  зануляется на множестве $\text{V}(I)$${\hbox{V}}(I)$ , то есть если $p(x)=0$$p(x)=0$  для всех $x\in <!--\; \in \; -->V(I)$$x\in V(I)$ , то существует натуральное число $r$$r$  такое, что $p^r\in <!--\; \in \; -->I$$p^{r}\in I$ .

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если $I$$I$  является собственным идеалом в кольце $K[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ , то $\text{V}(I)$${\hbox{V}}(I)$  не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен $p(x)=1$$p(x)=1$  имеет корни всюду на $\text{V}(I)$${\hbox{V}}(I)$ , следовательно, его степень принадлежит $I$$I$ ). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле $K$$K$  является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала $(x^2+1)$$(x^{2}+1)$  в $\mathbb{R}[x]$${\mathbb R}[x]$  не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала $J$$J$  справедлива формула

$\text{I}(\text{V}(J))=\sqrt{J}$${\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}$ 

где $\sqrt{J}$${\sqrt {J}}$  — радикал идеала $J$$J$ , а $\text{I}(U)$${\hbox{I}}(U)$  — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве $U$$U$ .

Из этого следует, что операции $\text{I}$${\hbox{I}}$  и $\text{V}$${\hbox{V}}$  задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в $K^n$$K^n$  и радикальными идеалами в $K[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ .

Проективная версия NullstellensatzПравить

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть $R=K[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ , $R_d$$R_{d}$  — множество однородных многочленов степени $d$$d$ . Тогда

$R_{+}=\underset{d\ge <!--\; \ge \; -->1}{⨁<!--\; ⨁\; -->}{R}_d$$R_{+}=\bigoplus _{{d\geq 1}}R_{d}$ 

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества $S\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{\mathbb{P}}^n$$S\subseteq {\mathbb {P}}^{n}$  и однородного идеала $I$$I$  пусть

${\begin{aligned}\operatorname {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\;\forall x\in S\},\\\operatorname {V}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(I)&=\{x\in {\mathbb {P}}^{n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}$ 

Напомним, что $f$$f$  не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами $x$$x$ , в которых $f(x)=0$$f(x)=0$ , определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала $I\in <!--\; \in \; -->R_{+}$$I\in R_{+}$  верно

$\sqrt{I}={\mathrm{I}}_{{\mathbb{P}}^n}<!--\; \; -->({\mathrm{V}}_{{\mathbb{P}}^n}<!--\; \; -->(I)).$${\sqrt {I}}=\operatorname {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(\operatorname {V}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(I)).$ 

ЛитератураПравить

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999. ISBN 5-900916-32-4.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968