Формула Гаусса — Остроградского

Фо́рмула Гаусса —Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

ФормулировкаПравить

Поток вектора $\mathbf{a}$$\mathbf {a}$  через замкнутую поверхность $S$$S$  равен интегралу от $\mathrm{div}<!--\; \; -->\mathbf{a}$$\operatorname {div} \mathbf {a}$  , взятому по объему $V$$V$ , ограниченному поверхностью $S$$S$ 

$\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{s}=\underset{V}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathrm{div}<!--\; \; -->\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{v}$$\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v}$ 

В координатной записи формула Остроградского-Гаусса принимает вид:

$\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}{a}_{x}dydz+a_{y}dzdx+a_{z}dxdy=\underset{V}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{a}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{a}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{a}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right)dxdydz$$\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz$ 

$a_x,a_y,a_z$$a_{x},a_{y},a_{z}$  - проекции вектора $\mathbf{a}$$\mathbf {a}$ 

Следствия из теоремы Остроградского-Гаусса:

1) в соленоидальном поле ($\mathrm{div}<!--\; \; -->\mathbf{a}=0$$\operatorname {div} \mathbf {a} =0$ ) поток вектора $\mathbf{a}$$\mathbf {a}$  через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2) если внутри замкнутой поверхности $S$$S$  имеется источник или сток, то поток вектора $\mathbf{a}$$\mathbf {a}$  через эту поверхность не зависит от ее формы.

ЗамечанияПравить

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

$\int <!--\; \int \; -->\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\int <!--\; \int \; -->(P\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+Q\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+R\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})ds,$$\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,$ 

где $d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$d\omega$  и $ds$$ds$  — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. $P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)$$P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$  — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Современная запись формулы:

$\int <!--\; \int \; -->\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\int <!--\; \int \; -->(P\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+Q\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+R\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})dS,$$\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,$ 

где $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}dS=dydz$$\cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}$ , $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}dS=dzdx$$\cos \beta \,{dS}={dz}{dx}$  и $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}dS=dxdy$$\cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}$ . В современной записи $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\omega =d\Omega$  — элемент объёма, $s=dS$$s=dS$  — элемент поверхности.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

ИсторияПравить

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762.

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики.

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$$n$ -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$$n$ -кратного интеграла.

За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

См. такжеПравить

• Теорема Стокса
• Теорема Грина

ЛитератураПравить

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).