Теорема Гамильтона — Кэли

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — классическая теорема линейной алгебры, утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Формулировка Править

Если $A$$\ A$  — квадратная матрица и $c(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$\ c(\lambda )$  её характеристический многочлен, то $c(A)=0$$\ c(A)=0$ .

Следствия Править

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
• Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

Вариации и обобщения Править

• Пусть $p_A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$p_{{A}}(\lambda )$  — характеристический многочлен матрицы $A$$A$ , а матрица $X$$X$  коммутирует с $A$$A$ . Тогда $p_A(X)=M(A-<!--\; -\; -->X)$$p_{{A}}(X)=M(A-X)$ , где $M$$M$  — некоторая матрица, коммутирующая с $A$$A$  и $X$$X$ .

• Если в характеристическом многочлене $f(x_1,...,x_m)$$f(x_{{1}},...,x_{{m}})$  заменить $x^z$$x^{{z}}$  на $A^z$$A^{{z}}$ , то получим нулевую матрицу.

См. также Править

• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• Лямбда-матрица

Литература Править

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.